发布时间 : 星期三 文章量子力学基础和原子结构更新完毕开始阅读
E0 本征函数的意义：
在量子力学中，测不准原理指出，对微观粒子不能同时确定其位置和动量，因而不是所有物理量都能同时准确测量。这和经典力学不同。
?的本征函数，在什么状态下，一个物理量能够准确测量？如果状态波函数?是A则在该状态下
?的本征函数又称物理量A能准确测量，测量结果就是该本征函数对应的本征值。所以，算符A物理量A的本征态。
本征态总是和某个物理量联系在一起，在讨论具体问题时，需要指出是哪个物理量的本征态。 态叠加原理：
上面指出，如果状态波函数是A的本征态，A才有确定值。这是一个特殊情形，现在考虑一般
状态下的测量结果。假想有大量恒等体系，每一体系都处于同样的状态?，对每个体系测量物理
?的某个本征值)。 性质A，一般来说，对不同体系会得到不同结果(当然，每个结果都是A量子力学中的基本假设之一是：一个量子力学算符所有本征函数构成的集合是一个完备集
?
(complete set)。
?的所有本征函数?构成一个完备集，该体系任何一个状态?都可以展开为这些根据这个假设，Ai本征函数(本征态)的线性组合
???ci?i (1-6-2)
i上式中的展开系数ci可以根据?计算，这里不详细讨论。量子力学证明：①ci2是对A进行测量时得到ai的几率；② ci2的加和为1(正如几率所应该的那样)。
?的一个本征值对应，这时我们说?是A的一些本征态的叠加，每个本征态和A各种本征值出现
的几率由展开系数的平方决定。这就是所谓的态叠加原理。
考虑一种特殊情况：如果除了一个系数ck外，其它的系数都为0，则ck2=1。这表明对A进行
?的本征函数 测量得到ak的几率是1，或者说A有确定值；同时状态波函数?还原为A???k
?
这里的“完备”是指，对于任何与本征函数满足同样边界条件的品优函数f，都可以表示为这些本征函数的线性组合。这个假设其实是一个数
学假设。 - 21 -
这就验证了体系处于本征态时物理量有确定值的说法。 物理量的平均值
波函数?能够告诉我们各种测量结果出现的几率，如果将各些结果按照几率进行平均，就得到平均值。平均值常称为期望值，它不一定是能观测到的可能值之一，如一个家庭平均有2.2个人。
量子力学的基本假设之一：如果?是体系在时刻t时的归一化的状态波函数，则在时刻t时物理量A的平均值是
??d? (1-6-3) ?A????*A?d?表示积分区域遍及所有空间坐标的全部区域。
如，粒子坐标x的平均值
?*?x???????x?dx (一维)
???*?x?????????????x?dxdydz (三维)
粒子势能的平均值
???* ?V?????????????V(x,y,z)?dxdydz (三维)
???A??*???*?A? ? 尽管在上面的例子中，被积函数中各因子可以互换位置，但一般而言，?*A? ?必须是归一化的，
???a?，则 ?的本征值为a的本征函数，即A再次考察本征态的情形，如果状态波函数?是A??d????*a?d??a??*?d??a ?A????*A上面公式中用到了归一化条件。这个结果并不意外，因为在该本征态下，测量性质A时结果总是a，平均值自然等于a。 共同本征态
现在考虑多个物理量的同时准确测量。
?的一个本征值为a的本征函数，我们已经知道，若状态波函数?是算符A则对物理量A的测量
?和B?的本征函数， 结果一定是a。可以推断，若?同时是两个算符A???a?,B???b? A显然，物理量A和B同时有确定值，分别为a和b。
两个或多个算符共同的本征函数所描述的状态称为的共同本征态。当体系处于(两个或多个物
理量的)共同本征态时，相应的物理量同时有确定值。 多个物理量的准确测量和算符的对易关系
- 22 -
测不准原理使我们面临经典力学不曾出现的问题，那就是不是所有物理量都可以同时准确测量。那么，在什么情况下几个物理量可以有共同的本征态，或者说可以同时准确测定？ 从量子力学算符的对易性质出发，可证明如下定理：
定理：若一组算符彼此两两对易，则这些算符可以找到共同本征函数完备集。
?、B?找到共同的本征函数完备集。在这?,B?]?0、[C?,A?]?0，我们可以对A?和C?]?0、[B?,C例如，若[A些本征函数描述的状态(共同本征态)下，A、B、C同时有确定值。
该定理的逆定理也成立：若对一组算符能够找到共同的本征函数完备集，则这些算符彼此两
两对易。
§1-7薛定愕方程的算符表示
一个物理量对应一个量子力学算符，算符的本征值代表该物理量的许可值。算符的本征函数又称本征态，体系处在本征态时，相应的物理量有确定值。非本征态下，状态波函数可表示为一些本征态的叠加，相应的物理量虽然是不确定的，但可以根据状态波函数求出其平均值。所以量子力学问题可归结为求本征值和本征态。 1. 薛定愕方程的算符表达式 不含时间的薛定愕方程：
对于一维一粒子的保守体系，首先用坐标x和相应的线动量px为变量，写出动能、势能以及总能量的经典力学表达式
2px动能：T?
2m 势能：V?V(x)
总能量(哈密顿量)：E=T+V 根据物理量和量子力学算符的对应关系，写出相应的算符
2?xp?2d2?动能算符：T? ??2m2mdx2??V(x)? (一般而言，这是正确的，如V(x)?ax2) 势能算符：V?2d2??? 能量算符(哈密顿算符)：H?T?V???V(x)
2mdx2 (1-7-1)
再写出能量算符(哈密顿算符)的本征方程
???E? (1-7-2) H根据本征值和本征函数的意义，E就是体系的能量许可值，?是能量本征函数(能量本征态)。 将上式和(1-4-8)式表示的不含时间的薛定愕方程比较，容易看出两者在形式上相同的，上式称为不
- 23 -
含时间的薛定愕方程的算符表达式。所以，定态波函数就是能量本征函数，不含时间的薛定愕方程就是能量本征方程。
定态时，完全波函数是哈密顿算符的本征函数吗？ 1.4节中指出，一维一粒子体系处于定态时，完全波函数为
?(x,t)??(x)e?iEt?
由于保守体系的哈密顿算符中不含时间，不会影响上式中的指数因子e?iEt/?，所以有
??(x,t)?H?[?(x)eH?iEtiEt???(x)?]?e?H
?e?iEt?E?(x)?E[?(x)e?iEt?]?E?(x,t) (1-7-3)
于是，对于一定态，完全波函数是哈密顿算符的本征函数，测定能量时，肯定得到E值。这和1.4节中讨论的结果是一致的。
此外需要注意的是，在定态下，能量虽然有确定值，但其它的物理量不一定能够有确定值(要看它们的算符是否和哈密顿算符对易)。
对于定态，计算物理量A的平均值不必用完全波函数?，这是因为
?(?e?iEt/?)d? ?A????*?d???(?e?iEt/?)*A??d????*A??d? (1-7-4) ??e0?*A所以对于一定态，可以直接用定态波函数?求物理量的平均值。含时间的薛定愕方程： 根据(1-4-3)式，不含时间的薛定愕方程的算符表达式如下：
????? (1-7-5) ??Hi?t注意上式中的?是完全波函数，而且哈密顿算符中的势能部分可以和时间有关(如果是保守体系，则与时间无关)。
在后面的讨论中，如果不特殊声明，体系均指保守体系。 2. 三维多粒子体系的薛定愕方程
薛定愕方程的算符表达式使得我们可以很容易将其推广到三维多粒子的体系。 三维一粒子体系：
总能量的经典力学表达式为
H?T?V?22px?p2y?pz2m?V(x,y,z) (1-7-6)
相应的哈密顿算符为
- 24 -