发布时间 : 星期五 文章2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5讲义:第一章 1.1 正弦定理和余弦定理 - 图文更新完毕开始阅读
所以
32
b=a,① 22
又因为a+b=12,② 由①②可知a=12(3-6). 答案:12(3-6)
6.在△ABC中,若A=120°,AB=5,BC=7,则sin B=_______. ABBC解析:由正弦定理,得=,即
sin Csin AAB·sin A
sin C=BC =
5sin 120°53
=. 714
11
. 14
可知C为锐角,∴cos C=1-sin2C=
∴sin B=sin(180°-120°-C)=sin(60°-C) =sin 60°·cos C-cos 60°·sin C=答案:
33
14
33
. 14
ac
7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c且=. sin A3cos C(1)求角C的大小;
(2)如果CA·CB=4,求△ABC的面积.
?
解:(1)由?a
?sin A=
ac=,sin Asin C
c
,3cos C
得sin C=3cos C,
π
故tan C=3,又C∈(0,π),所以 C=. 3
1
(2)由CA·CB=|CA||CB|cos C=2ba=4得ab=8, 113
所以S△ABC=absin C=×8×=23.
222
8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos C+3bsin C-a-c=0.
(1)求B;
(2)若b=3,求a+c的取值范围.
解:(1)由正弦定理知:sin Bcos C+3sin Bsin C-sin A-sin C=0, ∵sin A=sin (B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C代入上式得: 3sin Bsin C-cos Bsin C-sin C=0. ∵sin C>0,∴3sin B-cos B-1=0, π1B-?=, 即sin ??6?2π
∵B∈(0,π),∴B=.
3(2)由(1)得:2R=
b
=2,a+c=2R(sin A+sin C) sin B
πC+?. =23sin??6?2ππ
0,?,∴23sin?C+?∈(3,23], ∵C∈?3???6?∴a+c的取值范围为(3,23].
1.1.2 余弦定理
预习课本P5~6,思考并完成以下问题 (1)余弦定理的内容是什么? (2)已知三角形的两边及其夹角如何解三角形? (3)已知三角形的三边如何解三角形? [新知初探] 余弦定理
a2=b2+c2-2bccos A, 余弦定理 公式表达 b2=a2+c2-2accos_B, c2=a2+b2-2abcos_C 余弦定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍
b2+c2-a2cos A= 2bc推论 a2+c2-b2c os B=, 2aca2+b2-c2cos C= 2ab [点睛] 余弦定理的特点
(1)适用范围:余弦定理对任意的三角形都成立.
(2)揭示的规律:余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系,它含有四个不同的量,知道其中的三个量,就可求得第四个量.
[小试身手]
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系,因此,它适应于任何三角形( ) (2)在△ABC中,若a2>b2+c2,则△ABC一定为钝角三角形( ) (3)在△ABC中,已知两边和其夹角时,△ABC不唯一( )
解析:(1)正确.余弦定理反映了任意三角形的边角关系,它适合于任何三角形. b2+c2-a2
(2)正确.当a>b+c时,cos A=<0.
2bc
2
2
2