发布时间 : 星期五 文章2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5讲义：第一章 1.1 正弦定理和余弦定理 - 图文更新完毕开始阅读
ab
∴asin A＝bsin B．由正弦定理可得：a·＝b·，
2R2R∴a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形． [法二 化边为角]
ππ
－A?＝bcos?－B?， ∵acos??2??2?∴asin A＝bsin B.
由正弦定理可得：2Rsin2A＝2Rsin2B，即sin A＝sin B， ∴A＝B.(A＋B＝π不合题意舍去) 故△ABC为等腰三角形． 利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径 (1)化角为边．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知．．．．．识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sin A＝abc，sin B＝，sin C＝. 2R2R2R(2)化边为角．将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关．．．．．知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C． [活学活用]
在△ABC中，已知acos A＝bcos B，试判断△ABC的形状． 解：由正弦定理，
abc
＝＝＝2R，所以acos A＝bcos B可化为sin A cos A＝sin Asin Bsin C
sin Bcos B，sin 2A＝sin 2B，又△ABC中，A，B，C∈(0，π)，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，π即A＝B或A＋B＝，所以△ABC的形状为等腰或直角三角形．
2
层级一 学业水平达标
1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是( ) 5A. 33C. 7
解析：选A 根据正弦定理得
3 B. 55 D. 7
sin Aa5
＝＝. sin Bb3
2．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( ) A．锐角三角形 C．钝角三角形 解析：选B 由题意有
B．直角三角形 D．等腰三角形
ab＝b＝，则sin B＝1， sin Asin B
即角B为直角，故△ABC是直角三角形． 3．在△ABC中，若A．30° C．60°
sin Acos C＝，则C的值为( ) ac
B．45° D．90°
sin Asin Ccos C
解析：选B 由正弦定理得，a＝c＝c， 则cos C＝sin C，即C＝45°，故选B.
ππ
4．△ABC中，A＝，B＝，b＝2，则a等于( )
64A．1 C.3
解析：选A 由正弦定理得a
B．2 D．23
2
＝， ππsin sin
64
∴a＝1，故选A.
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝3bsin A，则sin B＝( ) A.3 C.6
3
B.3 3
6 3
D．－
解析：选B 由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，所以sin A＝3sin Bsin A，故sin B＝
3. 3
6．下列条件判断三角形解的情况，正确的是______(填序号)． ①a＝8，b＝16，A＝30°，有两解； ②b＝18，c＝20，B＝60°，有一解； ③a＝15，b＝2，A＝90°，无解； ④a＝40，b＝30，A＝120°，有一解．
解析：①中a＝bsin A，有一解；②中csin B
答案：④
7．在△ABC中，若(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝sin2C，则△ABC的形状是________． ab
解析：由已知得sin2A－sin2B＝sin2C，根据正弦定理知sin A＝，sin B＝，sin C
2R2Rc
＝， 2R
a?2?b?2?c?2
所以??2R?－?2R?＝?2R?，
即a2－b2＝c2，故b2＋c2＝a2.所以△ABC是直角三角形． 答案：直角三角形
8．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则解析：由正弦定理及已知得答案：2
9．已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长． 解：设△ABC中，A＝45°，B＝60°， 则C＝180°－(A＋B)＝75°. 因为C>B>A，所以最小边为a. 又因为c＝1，由正弦定理得， a＝
csin A1×sin 45°
＝＝3－1， sin Csin 75°
AC
＝________. cos A
ACAC1＝，∴＝2. sin Asin 2Acos A
所以最小边长为3－1.
10．在△ABC中，已知a＝22，A＝30°，B＝45°，解三角形． 解：∵
abc
＝＝， sin Asin Bsin C
22×
1222
asin B22sin 45°∴b＝＝＝sin Asin 30°
＝4.
∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°， ∴c＝
asin C22sin 105°22sin 75°
＝＝ sin Asin 30°1
2
＝42sin(30°＋45°)＝2＋23.
层级二 应试能力达标
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝3a，B＝30°，那么角C等于( )
A．120°
B．105°
C．90° D．75°
解析：选A ∵c＝3a，∴sin C＝3sin A＝3sin(180°－30°－C)＝3sin(30°＋C)＝3
?3sin C＋1cos C?，即sin C＝－3cos C，∴tan C＝－3.又0° 2?2? ∴C＝120°.故选A. 2．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若△ABC的周长为4(2＋1)，且sin B＋sin C＝2sin A，则a＝( ) A.2 C．4 B．2 D．22 解析：选C 根据正弦定理，sin B＋sin C＝2sin A可化为b＋c＝2a， ∵△ABC的周长为4(2＋1)， ?a＋b＋c＝4?2＋1?， ∴?解得a＝4.故选C. ?b＋c＝2a， a＋b＋c 3．在△ABC中，A＝60°，a＝13，则等于( ) sin A＋sin B＋sin C83A. 3263C. 3 239 B. 3D．23 a＋b＋ca ＝2R＝ sin Asin A＋sin B＋sin C 解析：选B 由a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C得13239 ＝＝. sin 60°3 4．在△ABC中，若A A．1∶2∶3 C．3∶4∶5 B．2∶3∶4 D．4∶5∶6 π 解析：选A 由A 所以A＝，从而C＝，则三个角A∶B∶C＝1∶2∶3，故选A. 62 5．在△ABC中，A＝60°，B＝45°，a＋b＝12，则a＝________. abab解析：因为＝，所以＝， sin Asin Bsin 60°sin 45°