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第六章 向量代数与空间解析几何习题详解
x?5y?4z?13?0．
解3： 用下面的方法求出所求平面的法向量n?{A,B,C}，再根据点法式公式写出平面方程也可．
B??5A,C??4A，于是所求因为n?P1P2,n?P1P3，所以3A?B?2C?0,解得
平面方程为
?A?B?C?0,A(x?0)?5A(y?1)?4A(z?2)?0，即 x?5y?4z?13?0．
（2）因所求平面过x轴，故该平面的法向量n?{A,B,C}垂直于x轴，n在x轴上的投影A?0，又平面过原点，所以可设它的方程为By?Cz?0，由题设可知B?0（因为
B?0时，所求平面方程为Cz?0又C?0，即z?0．这样它与已知平面5x?2y?z?0所夹锐角的余弦为
0?5?0?2?1?102?02?12(5)2?22?12y?C?z?0，由题设得
?C1π1?C?，则有，令?cos?，所以B?0）
B32100?5?1?2?C??1?， cos?22222230?1?C?(5)?2?1解得C??3或C???
6、 一平面过直线?1，于是所求平面方程为y?3z?0或3y?z?0． 3?x?5y?z?0,且与平面x?4y?8z?12?0垂直，求该平面方程；
?x?z?4?0?x?5y?z?0,44解法1： 直线?在平面上，令x=0，得 y??，z=4，则（0，-，
55?x?z?4?04）为平面上的点．
设所求平面的法向量为n={A,B,C}，相交得到直线的两平面方程的法向量分别为 n1={1，
i5，1}，n2={1，0，-1}，则直线的方向向量s=n1?n2=1j5k1={-5，2，-5}，由于所
10?1求平面经过直线，故平面的法向量与直线的方向向量垂直，即
s?n={-5，2，-5}?{A,B,C}=?5A?2B?5C=0，
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第六章 向量代数与空间解析几何习题详解
因为所求平面与平面x?4y?8z?12?0垂直，则{A,B,C}?{1,?4,?8}=A?4B?8C=0，解方程组
C,?A??25A?2B?5C?0, ???B??5C, A?4B?8C?0,??254所求平面方程为 ?2C(x?0)?C(y?)?C(z?4)?0，即4x?5y?2z?12?0．
25?解法2： 用平面束（略）
7、求既与两平面?1:x?4z?3和?2:2x?y?5z?1的交线平行，又过点(?3,2,5)的直线方程.
解法1：n1??1,0,?4?，n2??2,?1,?5?，s?n1?n2???4,?3,?1?，从而根据点向式方程，所求直线方程为
x?3y?2z?5x?3y?2z?5????，即. ?4?3?1431n?5p?0，解法2：设s??m,n,p?，因为s?n1，所以m?4p?0；又s?n2，则2m?可解m?4p,n?3p，从而p?0．根据点向式方程，所求直线方程为
x?3y?2z?5x?3y?2z?5????，即. 4314p3pp解法3：设平面?3过点(?3,2,5)，且平行于平面?1，则n3?n1??1,0,?4?为?3的法向量，从而?3的方程为1?(x?3)?0?(y?2)?4?(z?5)?0，即x?4z?23?0．同理，过已知点且平行于平面?2的平面?4的方程为2x?y?5z?33?0．故所求直线的方程为
?x?4z?23?0． ??2x?y?5z?33?0
8、 一直线通过点A(1,2,1)，且垂直于直线L:相交，求该直线方程；
解： 设所求直线的方向向量为s?{m,n,p}，因垂直于L，所以3m?2n?p?0；又因为直线过点A(1,2,1)，则所求直线方程为
x?1yz?1??，又和直线x?y?z321x?1y?2z?1??，联立mnp?x?1y?2z?1?m?n?p,① ?x?y?z,②??0,③?3m?2n?p6
第六章 向量代数与空间解析几何习题详解
?x?1??m,x?1y?2z?1???m?2??n,
????，则有?y?2??n,代入方程②有1由①，令
1??m?1??p,mnp?z?1??p,??可得m?p，代入③解得n??2p， 因此，所求直线方程为
9、 指出下列方程表示的图形名称：
(a) x2?4y2?z2?1；(b) x2?y2?2z；(c) z?2222x?1y?2z?1??． 1?21x2?y2；
?z?x2?y2(d) x?y?0；(e) x?y?1； (f) ?．
?z?2解： (a) 绕y轴旋转的旋转椭球面．(b) 绕z轴旋转的旋转抛物面． (c) 绕z轴旋转
的锥面．
(d) 母线平行于z轴的两垂直平面：x?y，x??y． (e) 母线平行于z轴的双曲柱面． (f) 旋转抛物面被平行于XOY面的平面所截得到的圆，半径为2，圆心在（0，0，2）处．
10、求曲面z?x2?y2与z?2?(x2?y2)所围立体在xOy平面上的投影并作其图形． 解： 将所给曲面方程联立消去z，就得到两曲面交线C的投影柱面的方程x2?y2?1，
?x2?y2?1所以柱面与xOy平面的交线C?:?所围成的区域x2?y2?1即为曲面
?z?0z?x2?y2与z?2?(x2?y2)所围立体在xOy平面上的投影(图略)．
复习题B
1、设a?4，b?3，(a,b)??6，求以a?2b和a?3b为邻边的平行四边形的面积.
解：A?(a?2b)?(a?3b)?a?a?3a?b?2b?a?6b?b
1??3a?b?2a?b??5a?b?5a?bsin(a,b)?5?4?3??30.
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2、设(a?3b)?(7a?5b)，(a?4b)?(7a?2b)，求(a,b). 解： 由已知可得：(a?3b)?(7a?5b)?0，(a?4b)?(7a?2b)?0即
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第六章 向量代数与空间解析几何习题详解
7a?15b?16a?b?0，7a?8b?30a?b?0．
这可看成是含三个变量a、b及a?b的方程组，可将a、b都用a?b表示，即
2222a?b?2a?b，从而cos(a,b)?
?a?ba?b1??，(a,b)?.
3ab2a?b23、求与a?{1,?2,3}共线，且a?b?28的向量b．
解 由于b与a共线，所以可设b??a?{?,?2?,3?}，由a?b?28，得
{1,?2,3}?{?,?2?,3?}?28，
即??4??9??28，所以??2，从而b?{2,?4,6}．
4、 已知a?{1,0,?2},b?{1,1,0}，求c，使c?a,c?b且c?6．
解法1: 待定系数法．设c?{x,y,z}，则由题设知c?a?0,c?b?0及c?6，所以有
?x?2z?0??x?y?0?x2?y2?z2?6?2①② ③x?x?22由①得z? ④，由②得y??x ⑤，将④和⑤代入③得x?(?x)????6，解
2?2?得x??4,y??4,z??2，于是 c?{4,?4,2}或c?{?4,4,?2}．
解法2: 利用向量的垂直平行条件，因为c?a,c?b，所以c∥a?b．设?是不为零的常数，则
ijkc??(a?b)??10?2?2?i?2?j??k，
110因为c?6，所以c?{?4,4,?2}．
?2[22?(?2)2?12]?6，解得???2，所以c?{4,?4,2}或
解法3: 先求出与向量a?b方向一致的单位向量，然后乘以?6．
ijka?b?10?2?2i?2j?k，a?b?22?(?2)2?12?3，
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