发布时间 : 星期一 文章高三数学一轮总复习板块命题点专练(十二)圆锥曲线理更新完毕开始阅读
板块命题点专练(十二) 圆锥曲线
x2y2
1.(2015·广东高考改编)已知椭圆25＋m2＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝________. 解析：由左焦点为F1(－4,0)知c＝4.又a＝5， ∴25－m＝16，解得m＝3或－3.又m＞0，故m＝3. 答案：3
2
x2y2
2．(2015·福建高考改编)已知椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个
ab端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的4
距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是________．
5
解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离为4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.
4c又d＝2≥，所以1≤b＜2，所以e＝＝2
5a3＋－4＜2，所以0＜e≤答案：?0，
3
. 2
|3×0－4×b|
b21－2＝ a1－.因为1≤b4
b2??3?? 2?
x2y2b3．(2015·浙江高考)椭圆2＋2＝1(a＞b＞0 )的右焦点F(c,0)关于直线y＝x的对称
abc点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________．
解析：设椭圆的另一个焦点为F1(－c,0)，如图，连接QF1，QF，设QF与直线y＝x交于点M.由题意知M为线段QF的中点，且OM⊥FQ.
又O为线段F1F的中点， ∴F1Q∥OM，∴F1Q⊥QF， |F1Q|＝2|OM|.
在Rt△MOF中，tan∠MOF＝
|MF|b＝，|OF|＝c， |OM|cbcc2bc可解得|OM|＝，|MF|＝，
aa2bc2c故|QF|＝2|MF|＝，|QF1|＝2|OM|＝. 2
aa2bc2c由椭圆的定义得|QF|＋|QF1|＝＋＝2a，
2
aa整理得b＝c，∴a＝b＋c＝2c，故e＝＝答案：
2 2
22
ca2. 2
x2y2
4．(2015·陕西高考)已知椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的半焦距为c，原点O到经过两
ab1
点(c,0)，(0，b)的直线的距离为c.
2
(1)求椭圆E的离心率；
522
(2)如图，AB是圆M：(x＋2)＋(y－1)＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭
2圆E的方程．
解：(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0， 则原点O到该直线的距离d＝
bcbc＝， b2＋c2a122由d＝c，得a＝2b＝2a－c，
2解得离心率＝ca3. 2
2
2
2
(2)法一：由(1)知，椭圆E的方程为x＋4y＝4b.① 依题意，圆心M(－2,1)是线段AB的中点，且|AB|＝10.
易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，代入①得(1＋4k)x＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)－4b＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2
2
2
2
8k则x1＋x2＝－
2k＋14
，xx＝122
1＋4k2k＋1－4b. 2
1＋4k22
8k由x1＋x2＝－4，得－1
解得k＝.
2从而x1x2＝8－2b. 于是|AB|＝ ＝5 2
2
2k＋1
＝－4， 2
1＋4k?1?2
1＋??|x1－x2| ?2?
2
x1＋x2－4x1x2＝10b2－2.
由|AB|＝10，得10b2－2＝10，解得b2＝3. y2
故椭圆E的方程为＋＝1.
123
法二：由(1)知，椭圆E的方程为x＋4y＝4b.② 依题意，点A，B关于圆心M(－2,1)对称，且|AB|＝10. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋4y1＝4b，x2＋4y2＝4b，
两式相减并结合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，得 －4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0. 易知AB与x轴不垂直，则x1≠x2， 所以AB的斜率kAB＝
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x2
y1－y21
＝. x1－x22
1
因此直线AB的方程为y＝(x＋2)＋1，代入②得
2
x2＋4x＋8－2b2＝0.
所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b. 于是|AB|＝ ＝5·2
2
?1?2
1＋??|x1－x2| ?2?
2
x1＋x2－4x1x2＝10b2－2.
由|AB|＝10，得10解得b＝3.
2
b2－2＝10，
故椭圆E的方程为＋＝1.
123
x2y2
x2y2
5．(2015·安徽高考)设椭圆E的方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，点O为坐标原点，点Aab的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为
5. 10
(1)求E的离心率e；
(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐7
标为，求E的方程．
2
?21?解：(1)由题设条件知，点M的坐标为?a，b?， ?33?
又kOM＝5b5，从而＝， 102a10
c2522
进而得a＝5b，c＝a－b＝2b，故e＝＝.
a5
(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程为1??5
?b，－b?.
2??2
7??设点N关于直线AB的对称点S的坐标为?x1，?，
2??则线段NS的中点T的坐标为?
17??5x1
b＋，－b＋?.
244??4
xy5bb＋＝1，点N的坐标为
又点T在直线AB上，且kNS·kAB＝－1，
??5b从而有?71
＋b22
?x－5b＝?2
1
5x1b＋42
17
－b＋44＋＝1，
b5，
解得b＝3. 所以a＝35，
故椭圆E的方程为＋＝1. 459
6.(2015·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆
x2y2
x2y22
，且右焦点F到左准线l的距离为2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为
ab2
3.