发布时间 : 星期三 文章问题8.4 圆锥曲线的范围、最值问题-2017届高三数学跨越一本线(原卷版)更新完毕开始阅读
2017届高三数学跨越一本线精品
问题四 圆锥曲线的最值、范围问题
与圆锥曲线有关的范围、最值问题,各种题型都有,既有对圆锥曲线的性质、曲线与方程关系的研究,又对最值范围问题有所青睐,它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,紧紧抓住圆锥曲线的定义进行转化,充分展现数形结合、函数与方程、化归转化等数学思想在解题中的应用,本文从下面几个方面阐述该类题型的求解方法,以引起读者注意． 一、利用圆锥曲线定义求最值
借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理．
x2y2【例1】已知A(4，?1内的两个点,M是椭圆上的动点,求MA?MB的最大值0),B(2，2)是椭圆?259和最小值．
【分析】很容易想到联系三角形边的关系,无论A、M、B三点是否共线,总有MA?MB?AB,故取不到等号,利用椭圆定义合理转化可以起到柳暗花明又一村的作用．
【点评】涉及到椭圆焦点的题目,应想到椭圆定义转化条件,使得复杂问题简单化．
【小试牛刀】【2017届四川双流中学高三上学期必得分训练】已知P为抛物线y?4x上一个动点,Q为圆x?(y?4)?1上一个动点,当点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和最小时,点P的横坐标为（ ）
222A．
9?17179 B． C． D．17 888二、单变量最值问题转化为函数最值
建立目标函数求解圆锥曲线的范围、最值问题,是常规方法,关键是选择恰当的变量为自变量．
x2y2【例2】已知椭圆C：2?2?1?a?b?0?的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线
abx?y?1?0与以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.
（1）求椭圆的方程.
（2）设P为椭圆上一点,若过点M(2,0)的直线l与椭圆E相交于不同的两点S和T,且满足
OS?OT?tOP(O为坐标原点),求实数t的取值范围.
【分析】（1）由题意可得圆的方程为(x?c)?y?a,圆心到直线x?y?1?0的距离d?222c?12?a；
x2y2根据椭圆C:2?2?1(a?b?0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, b=c,
aba?2b?2c代入*式得b?c?1,即可得到所求椭圆方程；（Ⅱ）由题意知直线L的斜率存在,设直线L方程为y?k(x?2),设p?x0,y0?,将直线方程代入椭圆方程得：1?2k根据??64k?41?2k2?2?x2?8k2x?8k2?2?0,
4?2??8k2?2??16k2?8?0得到k2??1；设S?x1,y1?,T?x2,y2?应用韦达定理28k8k2?2.讨论当k=0,t?0的情况,确定t的不等式. x1?x2?,x1x2?221?2k1?2k（Ⅱ）由题意知直线L的斜率存在,设直线L方程为y?k(x?2),设p?x0,y0? 将直线方程代入椭圆方程得：1?2k∴??64k?41?2k∴k2?4?2?x2?8k2x?8k2?2?0
?2??8k2?2??16k2?8?0
?1 28k8k2?2设S?x1,y1?,T?x2,y2?则x1?x2?………………8分 ,x1x2?1?2k21?2k2当k=0时,直线l的方程为y=0,此时t=0,OS?OT?tOP成立,故,t=0符合题意. 当t?0时
2???ty?y?y?k(x?x?4)??4k得01212?1?2k2?18k1?4k∴x0?? ,y??022t1?2kt1?2k28k2tx0?x1?x2?1?2k2
32k416k2将上式代入椭圆方程得：2??1
t(1?2k2)2t2(1?2k2)216k2整理得：t? 21?2k2由k2?1知0?t2?4 2（?2，2）所以t?
【点评】确定椭圆方程需要两个独立条件,从题中挖掘关于a、b、c的等量关系；直线和椭圆的位置关系问
题,往往要善于利用韦达定理设而不求,利用点P在椭圆上和向量式得t?f(k),进而求函数值域． 【小试牛刀】【2017河南西平县高级中学12月考】已知中心在原点O,焦点在x轴上,离心率为3的椭圆2过点(2,2)． 2
（1）求椭圆的方程；
（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P,Q两点,满足直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,求
?OPQ面积的取值范围．
三、二元变量最值问题转化为二次函数最值
利用点在二次曲线上,将二元函数的最值问题转化为一元函数的最值问题来处理．
x2y2【例2】若点O、F分别为椭圆??1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任一点,则OP?PF的最大值为
43【分析】设点P,利用平面向量数量积坐标表示,将OP?PF用变量x，y表示,借助椭圆方程消元,转（x，y）化为一元函数的最值问题处理．
【点评】注意利用“点在椭圆上”这个条件列方程．
【小试牛刀】抛物线y?8x的焦点为F,点(x,y)为该抛物线上的动点,又已知点A(?2,0),则值范围是 . 四、双参数最值问题
该类问题往往有三种类型：①建立两个参数之间的等量关系和不等式关系,通过整体消元得到参数的取值范围；②建立两个参数的等量关系,通过分离参数,借助一边变量的范围,确定另一个参数的取值范围；③建立两个参数的等量关系,通过选取一个参数为自变量,令一个变量为参数（主元思想）,从而确定参数的取值范围．
2|PA|的取|PF|3x2y2【例3】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C：2?2?1(a＞b≥1)的离心率e?,且椭圆C上一点N
2ab3）到点（Q0，的距离最大值为4,过点M的直线交椭圆C于点A、B. （3,0）（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P为椭圆上一点,且满足OA?OB?tOP（O为坐标原点）,当AB＜3时,求实数t的取值范围. 【分析】第一问,先利用离心率列出表达式找到a与b的关系,又因为椭圆上的N点到点Q的距离最大值为