发布时间 : 星期四 文章全国大联考2020届高三第五次联考数学(理)试题及答案更新完毕开始阅读
解得cos???344，k?tan???，综上，k??． 53317．解：本题考查利用正余弦定理解三角形．
（1）由余弦定理得c?a?b?2abcosC?a?b?ab?a?ab?2b?3b， 由a?ab?2b?0得到c?3b，由正弦定理得sinC?3sinB． 因为B，C??0,??，所以3sinB?sinC． （2）由题意及余弦定理可知a?b?ab?49，① 由a?ab?2b?0得(a?b)(a?2b)?0，即a?2b，②
222222222222222222联立①②解得b?7，a?27．所以S?ABC?173absinC?． 2218．解：本题考查点线面位置关系的证明与求二面角．
（1）证明：连接EC，Q?BCD??ADC?90?，?AD?CD．
QPA?CD，PAIAD?A，?CD?平面PAD． QCD?平面ABCD，?平面ABCD?平面PAD．
QPA?PD，E为AD的中点，?PE?AD．
Q平面ABCDI平面PAD?AD，?PE?平面ABCD．
QEC?平面ABCD，?PE?EC．
QF为Rt?PEC斜边PC的中点，?PC?2EF，
（2）QEF?PC，?由（1）可知，?PEC为等腰直角三角形， 则PE?EC?2．以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
?112?P(0,0,2)则E(0,0,0)，，B(0,1,0)，F??,,?222??，
??uuuruuur?112?r则EB?(0,1,0)EF???,,，记平面的法向量为m??x,y,z? EBF?222????uuurr?y?0?m?EB?0??由?ruuu得到?1， r12z?0???x?y??m?EF?0?222取x?2，可得z?r2，则m?(2,0,2)．
urruu易知平面PEB的法向量为n?EA?(1,0,0)．
记二面角P?BE?F的平面角为?，且由图可知?为锐角，
rr6|m?n|26则cos??rr?，所以二面角P?BE?F的余弦值为． ?3|m||n|36
19．解：本题考查函数的单调性、导数相关知识．
1f(x)?F?(x)?G(x)??x2?2x?alnx，函数f?x?的定义域为?0,???，
2a?x2?2x?af??x???x?2??．
xx?x2?2x?3x2?2x?3(x?3)(x?1)????（1）当a??3时，f?(x)?，
xxx由f??x??0得0?x?3，由f??x??0得x?3， 故函数f?x?在?0,3?上单调递增，在?3,???上单调递减． （2）证明：由条件可得f?(x)??x?2?aa，x?0，?f??(x)??1?2， xxQ方程f??x??c的两根分别为?，??????，?f?????c，且f?????c，可得???a． ????法一：f????2法二：f???4a4???(???)2???1???0． ???1?222(???)(???)(???)??????24a4??4???1???1???1?， ?22??(???)(???)???2??Q0????，?0?????1，???2，
???
?a???f????24???1???1?1?0成立． ??????2?a20．解：本题考查概率统计、独立性检验和数学期望．
（1）根据在抽取的50户居民中随机抽取1户，到分类意识强的概率为0.58，可得分类意识强的有29户，故可得2?2列联表如下： 试点后 试点前 合计 2分类意识强 分类意识弱 合计 20 9 29 5 16 25 25 50 21 50(20?16?5?9)26050??9.934?7.879， 因为K的观测值k?25?25?29?21609所以有99.5%的把握认为居民分类意识强与政府宣传普及工作有很大关系．
（2）现在从试点前分类意识强的9户居民中，选出3户进行自觉垃圾分类年限的调查，记选出自觉垃圾分类年限在12年以上的户数为X，则X?0，1，2，3
321C6C6C3155故P(X?0)?3?，P(X?1)?， ?3C921C928123C6C3C331P(X?2)?3?，P(X?3)?3?，
C914C984则X的分布列为
X P 0 1 15 282 3 143 5 211 84E(X)?0?51531?1??2??3??1． 2128148421．解：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合， （1）由题知D?2,0?，E0,3，则kDE????233．因为DE?AE，所以kAE?，
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?48?23x??y?x?3??2325??3x?3，联立?则直线AE的方程为y?，可得? 223?x?y?1?y??73??25?3?4?4873??25,?25??．则kDA??7333(x?2)．令x?0， ?25?，直线AD的方程为y?4814142?25故A??得y???33?，故直线AD与y轴的交点坐标为?0,?． ???77???5?,0?．设点A?x0,y0?，则B?4,y0?． ?2?（2）证明：因为F(1,0)，M(4,0)，所以N?当x0?1时，设A?1,?，则B?4,其直线方程为x?1，
?3??2???3??，此时直线AF与x轴垂直， 2?3?055??y?x?直线BN的方程为y?0?2，即． x??5?22?4??2在方程y?x?3?53?中，令x?1，得y??，得交点为（?1,??，显然在椭圆C上．
2?22?同理当A?1,???3??时，交点也在椭圆C上． 2?2y0?5?y0?5?y?x?，即x???． ?5?3?2?2?4??22y0?5?x???3?2?，
y0(x?1)x0?1当x0?1时，可设直线BN的方程为y??y??y0?(x?1)，联立方程?直线AF的方程为y?x0?1?y???消去y得
5x0?82y0?y05?x?x??(x?1)，化简并解得． ??3?2?x0?12x0?5将x?5x0?8y03y0(x?1)中，化简得y?代入y?．
2x0?5x0?12x0?5