发布时间 : 星期二 文章2008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(16概率、随机变量及其分布)更新完毕开始阅读
P(??3)?P(ABC)?P(A)P(B)P(C)?. 所以， ?的分布列是
0 ? P 181 2 3 3 83 81 81 83311?的期望E??0??1??2??3??1.
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14．(2008江西文) 因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出一种拯救果树的方案，该方案需分两年实施且相互独立．该方案预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.4、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.5倍、1.25倍、1.0倍的概率分别是0.3、0.3、0.4．
（1）求两年后柑桔产量恰好达到灾前产量的概率； （2）求两年后柑桔产量超过灾前产量的概率.
14．解：（1）令A表示两年后柑桔产量恰好达到灾前产量这一事件 P(A)?0.2?0.4?0.4?0.3?0.2
（2）令B表示两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件 P(B)?0.2?0.6?0.4?0.6?0.4?0.3?0.48
15．(2008江西理) 因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案第一年与第二年相互独立，令?i?i?1,2?表示方案i实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．
（1）写出ξ1、ξ2的分布列；
（2）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大?
（3）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别
为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大?
15.解：（1）ξ1的分布列为 ξ1 0.8 0.9 1 1.125 1.25 P1 0.2 0.15 0.35 0.15 0.15 ξ2的分布列为 ξ2 0.8 0.96 1 1.2 1.44 P2 0.3 0.2 0.18 0.24 0.08 （2）由（1）可得P1＞1的概率P（P1＞1）= 0.15 + 0.15 = 0.3， P2＞1的概率P（P2＞1）= 0.24 + 0.08 = 0.32， 可见，P（P2＞1）＞P（P1＞1）
∴实施方案2，两年后产量超过灾前概率更大。
（3）设实施方案1、2的平均利润分别为利润1、利润2，根据题意 利润1 = （0.2 +0.15）×10 + 0.35×15 + （0.15 + 0.15）×20 = 14.75（万元）
利润2 = （0.3 + 0.2）×10 + 0.18×15 + （0.24 + 0.08）×20 = 14.1（万元）
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∴利润1＞利润2，
∴实施方案1平均利润更大。
16．(2008辽宁文)某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结
果如下表所示：
周销售量
2
3
4
频数 20 50 30
（Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率； （Ⅱ）若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求
（ⅰ）4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率； （ⅱ）该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率．
16．本小题主要考查频率、概率等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分． 解：（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3． ······················ 4分
（Ⅱ）由题意知一周的销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3，故所求的概率为
4 （ⅰ）P··································································· 8分 1?1?0.7?0.7599．
（ⅱ）P2?C4?0.5?0.3?0.3?0.0621． ··············································· 12分
17．(2008辽宁理) 某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结
果如下表所示：
周销售量 频数
2 20
3 50
4 30
334（Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；
（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，?表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）．若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求?的分布列和数学期望．
17．本小题主要考查频率、概率、数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分． 解：（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3． ······················ 3分 （Ⅱ）?的可能值为8，10，12，14，16，且 P（?=8）=0.22=0.04， P（?=10）=2×0.2×0.5=0.2， P（?=12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37， P（?=14）=2×0.5×0.3=0.3， P（?=16）=0.32=0.09．
?的分布列为
? P 8 0.04 10 0.2 12 0.37 14 0.3 16 0.09 ··················································································· 9分
··························· 12分 E?=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元） ·
18．(2008全国Ⅱ卷文) 甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子弹．根据以往资料知，甲击中8环，9环，10环的概率分别为0.6，0.3，0.1，乙击中8环，9环，10环的概率分别为0.4，0.4，0.2．
设甲、乙的射击相互独立．
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（Ⅰ）求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率；
（Ⅱ）求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率．
18．解：记A1，A2分别表示甲击中9环，10环，
B1，B2分别表示乙击中8环，9环，
A表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，
B表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数，
C1，C2分别表示三轮中恰有两轮，三轮甲击中环数多于乙击中的环数．
（Ⅰ）A?A1gB1?A2gB1?A2gB2， ··································································· 2分
P(A)?P(A1gB1?A2gB1?A2gB2) ?P(A1gB1)?P(A2gB1)?P(A2gB2)
?P(A1)gP(B1)?P(A2)gP(B1)?P(A2)gP(B2)
···························································· 6分 ?0.3?0.4?0.1?0.4?0.1?0.4?0.2． ·
（Ⅱ）B?C1?C2， ······················································································ 8分 P(C1)?C32[P(A)]2[1?P(A)]?3?0.22?(1?0.2)?0.096， P(C2)?[P(A)]3?0.23?0.008，
P(B)?P(C1?C2)?P(C1)?P(C2)?0.096?0.008?0.104． ···························· 12分
19．(2008全国Ⅱ卷理) 购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为
1?0.99910．
（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p；
（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．
19．解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，记投保的10 000人中出险的人数为?，则?~B(10，p)．
（Ⅰ）记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A发生当且仅当??0， ··················································································································· 2分
44P(A)?1?P(A)?1?P(??0)?1?(1?p)10，
又P(A)?1?0.9991044，
故p?0.001． ······························································································· 5分 （Ⅱ）该险种总收入为10000a元，支出是赔偿金总额与成本的和． 支出 10000??50000，
盈利 ??10000a?(10000??50000)，
盈利的期望为 E??10000a?10000E??50000， ·········································· 9分
10)知，E??10000?10?3， 由?~B(10，E??104a?104E??5?104?104a?104?104?10?3?5?104．
4?3E?≥0?104a?104?10?5?104≥0
?a?10?5≥0 ?a≥15（元）．
故每位投保人应交纳的最低保费为15元． ························································· 12分
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20．(2008全国Ⅰ卷文)已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验． 求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．
20．解：对于甲： 次数 1 2 3 4 5 概率 对于乙：
次数 概率 2 0.4 3 0.4 4 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 21．(2008全国Ⅰ卷理) 已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验． （Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； （Ⅱ）?表示依方案乙所需化验次数，求?的期望．
21．解：（Ⅰ）对于甲： 次数 1 2 3 4 5 概率 对于乙：
次数 概率 2 0.4 3 0.4 4 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2*0.4?0.2*0.8?0.2*1?0.2*1?0.64． 0.2?0.4?0.2?0.8?0.2?1?0.2?1?0.64． （Ⅱ）?表示依方案乙所需化验次数，?的期望为E??2?0.4?3?0.4?4?0.2?2.8．
22.(2008山东文)现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，
C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
（Ⅰ）求A1被选中的概率；
（Ⅱ）求B1和C1不全被选中的概率．
22．解：（Ⅰ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间
(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)， ??{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)， (A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)， (A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，
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