发布时间 : 星期三 文章2008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(16概率、随机变量及其分布)更新完毕开始阅读
6．(2008福建理)某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科 目B的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证 书.现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为 成绩合格的概率均为
2，科目B每次考试 31.假设各次考试成绩合格与否均互不影响. 2 （Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；
（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为?，求?的数学期望E?.
6．本小题主要考查概率的基本知识与分类思想,考查运用数学知识分析问题/解愉问题的能力.满分
12分.
解:设“科目A第一次考试合格”为事件A，“科目A补考合格”为事件A2；“科目B第一次考试
合格”为事件B，“科目B补考合格”为事件B.
(Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为A1·B1,注意到A1与B1相互独立，
则P(A1gB1)?P(A1)?P(B1)?211??. 3231. 3答：该考生不需要补考就获得证书的概率为
(Ⅱ)由已知得，?＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得
P(??2)?P(A1gB1)?P(A1gA2)
2111114 ???????.
3233399P(??3)?P(A1gB1gB2)?P(A1gB1gB2)?P(A1gA2gB2)
2112111211114 ?????????????,
3223223326693P(??4)?P(A1gA2gB2gB2)?P(A1gA2gB1gB2)
12111211111 ???????????,
33223322181894418故E??2??3??4??.
99938答：该考生参加考试次数的数学期望为.
3
7. (2008广东文)某初级中学共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表. 已知在全校学生中随机抽取1名,抽到初二年级女生的概率是0.19 . 一年级（1）求x的值；
女生373（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生, 问应在初三
男生377年级抽取多少名？
（3）已知y?245,z?245，求初三年级中女生比男生多的概率。
二年级三年级x370yz x?0.19,解得x?380, 2000 (2)初三年级人数为y?z?2000?(373?377?380?370)?500,
m48? 设应在初三年级抽取m人，则，解得m=12. 50020007.解: (1)由
5
答: 应在初三年级抽取12名.
（3）设初三年级女生比男生多的事件为A，初三年级女生和男生数记为数对(y,z)，
由（2）知y?z?500,(y,z?N,y?245,z?245)，则基本事件总数有：
(245,255),(246,254),(247,253),(248,252),(249,251),(250,250), (251,249),(252,248),(253,247),(254,246),(255,245)共11个， 而事件A包含的基本事件有：
(251,249),(252,248),(253,247),(254,246),(255,245)共5个，
5∴P(A)?
11
8. (2008广东理)随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获利分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润（单位：万元）为?. (1)求ξ的分布列;
(2)求1件产品的平均利润(即ξ的数学期望);
(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%. 如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少?
8.解: (1) 依题意得, ξ的所有可能取值为6,2,1,-2.
ξ=6,2,1,-2分别对应抽取1件产品为一等品、二等品、三等品、次品这四个事件.
126?0.63,20020 P(??1)??0.1,200 所以P(??6)? 所以ξ的分布列为
50?0.25, 2004P(???2)??0.02,
200P(??2)??P6210.1-20.02 (2) 1件产品的平均利润为Eξ=6?0.63+2?0.25+1?0.1-2?0.02=4.34 （3）设三等品率为x,则二等品率为0.29-x，此时ξ的分布列为 0.630.25?P60.720.29-x1x-20.01 1件产品的平均利润为Eξ=6?0.7+2?(0.29-x)+x-2?0.01=4.76-x 令Eξ=4.76-x?4.73，解得x?0.03=3%, 答：三等品率最多是3%.
9、(2008海南、宁夏文)为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部
门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10。把这6名学生的得分看成一个总体。（1）求该总体的平均数；（2）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本。求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率。
9．解：（Ⅰ）总体平均数为
1(5?6?7?8?9?10)?7.5．-----------4分 6（Ⅱ）设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．
6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(510)，，(6，7)，(6，8)，从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：(5，(6，9)，(6，10)，(7，8)，(7，9)，(7，10)，(8，9)，(810)，，(9，10)．共15个基本结果．
9)，(510)，，(6，8)，(6，9)，(6，10)，(7，8)，(7，9)．共有7个基本事件A包括的基本结果有：(5，结果．
6
所以所求的概率为P(A)?7．-----------------12分 15
10、(2008海南、宁夏理)A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2。根据市场分析，X1
和X2的分布列分别为 X1 5% 10% X2 2% 8% 12% P 0.8 0.2
P 0.2 0.5 0.3 （1）在A、B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1、DY2；（2）将x（0≤x≤100）万元投资A项目，100－x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和。求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值。 （注：D(aX + b) = a2DX）
10．解：（Ⅰ）由题设可知Y1和Y2的
Y1 P 5 0.8 10 0.2 Y2 P 2 0.2 8 0.5 12 0.3 分布列分别为
EY1?5?0.8?10?0.2?6，
DY1?(5?6)2?0.8?(10?6)2?0.2?4，
EY2?2?0.2?8?0.5?12?0.3?8，
DY2?(2?8)2?0.2?(8?8)2?0.5?(12?8)2?0.3?12．
（Ⅱ）f(x)?D?2?x??100?x?Y1??D?Y2? 100100????2?x??100?x???DY?1???DY2 100100????4?x2?3(100?x)2??2?? 1004?(4x2?600x?3?1002)， 2100600当x??75时，f(x)?3为最小值．
2?4
11. (2008湖北理)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号. （Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；
（Ⅱ）若η=aξ-b,Eη=1,Dη=11,试求a,b的值.
11.本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力.（满分12分） 解：（Ⅰ）?的分布列为：
? 0 1 2 3 4 1311 202051011131?2??3??4??1.5. ∴E??0??1?2201020511131??(0?1.5)2??(1?1.5)2??(2?1.5)2??(3?1.5)2??(4?1.5)2??2.75.（Ⅱ）由
220102052D??aD?，得a2×2.75＝11，即a??2.又E??aE??b,所以
P 1 2当a=2时，由1＝2×1.5+b,得b=-2;
7
当a=-2时，由1＝-2×1.5+b，得b=4.
?a?2,?a??2,∴?或?即为所求.
b??2b?4??
12．(2008湖南文) 甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格
就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试
合格的概率都是
1，且面试是否合格互不影响。求： 2（I）至少一人面试合格的概率； （II）没有人签约的概率。
12．解：用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A,B,C相互独立，
且P(A)?P(B)?P(C)?1. 2（I）至少有一人面试合格的概率是1?P(A?B?C)
17?1?P(A)P(B)P(C)?1?()3?.
28（II）没有人签约的概率为P(A?B?C)?P(A?B?C)?P(A?B?C)
333 P(A)?P(B)?P(C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(A)?P(B)?P(C)?()?()?()?.
12121238
13 (2008湖南理)甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是
1，且面试是否合格互不影响.求： 2（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率; （Ⅱ）签约人数?的分布列和数学期望.
13．解: 用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，
且P（A）＝P（B）＝P（C）＝
1. 2（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是
171?P(ABC)?1?P(A)P(B)P(C)?1?()3?.
28
（Ⅱ）?的可能取值为0，1，2，3.
P(??0)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)
＝P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)
13121332228 P(??1)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)
＝()?()?()?.
=P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C) =()?()?()?.
P(??2)?P(ABC)?P(A)P(B)P(C)?.
1231231233818 8