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任意纬线昼夜长短计算探讨
杜志忠 广东省东莞市厚街中学（523962）
某地的昼夜长短决定于两个因素：当地的地理纬度及当时太阳直射点所在的地理纬度（太阳赤纬）。如下面所示昼夜半球示意图中，直射点所在纬线为Q`K`（地理纬度为δ），计算纬线Q``K``（地理纬度为θ）的昼夜长短。
若要计算纬线Q``K``上的昼夜长短，只需求出其半昼长及半夜长，问题便转化为计算其半昼弧和半夜弧长度。
如图所示大圆NKS中，弦QK 、Q`K`、Q``K``为各纬线所在平面与大圆NKS所在面的交线，它们与地轴NS分别相交于点O（球心）、O`、O``，与ZZ`（晨昏线所在平面与大圆NKS所在面的交线）分别相交于点O、P`、P``。由相应地理知识可知，∠KOK`是太阳直射点所在纬线Q`K`之纬度角，值为δ。因∠KOK`与∠NOK`互余，而∠ZON亦与∠NOK`互余，故∠ZON =∠KOK`=δ。由于弦QK 与弦Q``K``互相平行，所以∠OK``O``与∠KOK``互为内错角，而∠KOK``为纬线Q``K``之纬度角，故∠OK``O``=∠KOK``=θ。
∵直角三角形OO``K``中，OO`` = O``K``tg∠OK``O``= O``K`` tgθ；
直角三角形OO``P``中，O``P``= OO`` tg∠O``OP``= OO`` tg∠ZON = OO`` tgδ； ∴ O``P`` = O``K`` tgθtgδ （ ①式） 在纬线Q``K``上的昼夜示意图中，
，∠△t为
所对之圆心角。
为半昼弧，
为半夜弧，半昼弧与半夜弧之差为
∵ 直角三角形O``P``M``中，∠O`` M`` P``= ∠△t，O``M``= O``K``； ∴ O``P``= O``M``sin∠O`` M`` P``= O``K``sin∠△t （②式） ∴ O``K``sin∠△t = O``K``tgθtgδ （由①、②两式可得） 则sin∠△t = tgθtgδ∠△t = arcsin(tgθtgδ) 若以时角（即弧所对圆心角）来表示弧长大小，则每15°弧长所跨时间为1小时（24小时/360°=1小时/15°）。在任一纬线，总有四分之一纬线之弧长跨时间为90°÷15°= 6小时，即弧长跨时间为6小时。由于弧长
为半昼弧与半夜弧之差，所以弧长
所
（时角为∠△t）所跨时间长度即为半昼长与半夜长之差，记着△T。 ．．．．．．．．．．．．．．
则有： △T = *arcsin(tgθtgδ)+/15° （θ、δ之符号以北半球为正，南半球为负。）
当△T之值为正时，昼长大于夜长，昼长夜短。半昼长为 6+△T → 昼长为（6+△T）×2；半夜
长为 6-△T → 夜长为（6-△T）×2。
当△T之值为负时，昼长小于夜长，昼短夜长。半昼长为 6+△T → 昼长为（6+△T）×2；半夜
长为 6-△T → 夜长为（6-△T）×2。 ※ 讨论一：
当δ= 0°，即直射点位于赤道上时，△T = *arcsin(tgθtgδ)+/15°= *arcsin(tgθtg0°)+/15° = 0，无论θ为
何值，△T皆为零。故此时全球昼夜平分。
当δ≠0°，即直射点位于非赤道的其它纬线上时，在南北半球之中，总有一半球δ与θ符号相同，
△T为正值，昼长夜短；而另一半球δ与θ符号相异，△T为负值，昼短夜长。 ※ 讨论二：
当θ= 0°时，即求赤道上的昼夜长短，△T = *arcsin(tgθtgδ)+ /15° = *arcsin(tg0°tgδ)+ /15° = 0
无论δ为何值，△T皆为零。故无论太阳直射点落在何处，赤道上总是昼夜平分。 ※ 讨论三： I、当θ= 90°-|δ|（θ为正值，表示所求纬线在北半球，纬度为北纬90°-|δ|）时，△T = *arcsin(tgθtgδ)+ /15° ={arcsin[tg（90°-|δ|）tgδ+-/15°= *arcsin(ctg|δ|tgδ)+ /15° δ为正（表示太阳直射点在北半球），△T = *arcsin(ctgδtgδ)+ /15° = 90°/15° = 6（此时，半昼长为
6+6 = 12小时，昼长为24小时，即为极昼。） δ为负（表示太阳直射点在南半球），△T = {arcsin[(-ctgδ)tgδ+ -/15° = -90°/15° = -6（此时，半昼长
为6+(-6)= 0小时，昼长为0小时，即为极夜。） II、当θ=|δ|-90°（θ为负值，表示所求纬线在南半球，纬度为南纬90°-|δ|）时，△T = *arcsin(tgθtgδ)+ /15° = {arcsin[tg(|δ|-90°)tgδ+- /15°= ,arcsin*(-ctg|δ|)tgδ+- /15° δ为正（表示太阳直射点在北半球），△T = {arcsin[(-ctgδ)tgδ+ -/15° = -90°/15° = -6（此时，半昼长
为6+(-6)=0小时，昼长为0小时，即为极夜。） δ为负（表示太阳直射点在南半球），△T = {arcsin{[-(-ctgδ)+tgδ-- /15° = 90°/15° = 6（此时，半昼长
为6+6=12小时，昼长为24小时，即为极昼。） 归纳I、II可知：
当δ为正，即太阳直射点在北半球时，在纬度90°-|δ|（即北纬90°-|δ|）处出现极昼，并可推知纬度高于北纬90°-|δ|的地方也出现极昼。反之，在纬度|δ|-90°（即南纬90°-|δ|）处出现极夜，并可推知纬度高于南纬90°-|δ|的地方也出现极夜。
当δ为负，即太阳直射点在南半球时，情况与上面刚好相反。 由以上推论得知半昼夜长差值公式为： △T= *arcsin(tgθtgδ)+ / 15°（-6≤△T≤6） 则：昼长公式为：
T昼长= ,6+ *arcsin(tgθtgδ)+ /15°-×2 =12+ *2arcsin (tgθtgδ)+ /15° 夜长公式为：
T夜长= {6 - *arcsin(tgθtgδ)+ /15°-×2 =12 – [2arcsin (tgθtgδ)+ /15° 其中：
⑴δ为直射点所在纬线的地理纬度，θ为所求纬线的地理纬度；θ、δ之符号以北半球为正，南半球为负；
⑵ -23°26`≤δ≤23°26` ，|δ|-90°≤θ≤90°-|δ|。[当δ=0°时，公式中θ值不能取±90°，但由于此时全球昼夜平分，故可作特殊情况对待；当0＜δ≤23°26`时，在北纬90°-|δ|及高于北纬90°-|δ|的地方（即90°-|δ|≤θ≤90°时）出现极昼，在南纬90°-|δ|及高于南纬90°-|δ|的地方（即-90°≤θ≤|δ|-90°时）出现极夜；当-23°26`≤δ＜0时，情况刚好相反。] 例题：当美国洛杉矶为6月22日中午12点时：
A．东京、洛杉矶、圣保罗三地日期相同 B．东京比洛杉矶、圣保罗日期早一天
C．洛杉矶和东京都处于白天 D．东京、洛杉矶和圣保罗都是昼长夜短
解析：当洛杉矶 （西八区）为6月22日中午12点时，计算得东京时间（东九区）为6月23日5时，圣保罗时间（西三区）为6月22日17时。根据计算结果，可排除A、B两选项；又因夏至日东京、洛杉矶昼长夜短，圣保罗昼短夜长，可排除D选项；答案为C选项。
从正面来解释C选项：一方面洛杉矶12点时显然处于白天；另一方面，由于东京所在纬度约为北纬35.8°，根据半昼夜长差值公式计算得东京半昼夜长差约为△T = *arcsin(tgθtgδ)+ /15° = *arcsin( tg35.8°tg23°26`)+ /15° = (arcsin0.3125)/15°≈18.2°/15° ≈1.21，即半昼长比半夜长长约1.21小时，东京提前约1.21小时日出，故东京在6月23日5点时已处于白天。 Tel：84929168
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