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第十三章 函数列与函数项级数
§13.1 一致收敛性
1．讨论下列函数列或函数项级数在所示区间D上是否一致收敛，并说明理由：
1（1）fn(x)=x2+2,n=1,2,…，D=(-1,1)；
nx,n=1,2,...,D=(-?,?); （2）fn(x)=1+n2x2ì1??-(n+1)x+1,0＃x??n+1n=1,2,...; (3)fn(x)=?í?1?0， nx(5) fn(x)=sin,n=1,2,...,(i)D=[-l,l],(ii)D=(-?,?). n解:（1）由于limsupfn(x)=|x|=f(x) (x?D(-1,1)) nx?Dnlimsup|fn(x)-f(x)|=limsup|x2+x挝DnxD1-|x||2n 12n=limsupnx?D1x2+2+|x|n1=lim=0nn1|x|,(nノ),x(-1,1) 故x2n2（2）因为limfn(x)=0=f(x),x?(?,?) n limsup|fn(x)-f(x)|=limsupnx挝Dnx|x|1?lim22n2nD1+n|x|,0 x?0,(n),x22?1+nx（3）当x=0时，limfn(x)=1. 故() x1-1，就有fn(x)=0，从而limfn(x)=0于 nx是在[0,1]上的极限函数为 x,=0 f(x)={10,<0x? 1 当0 0＃x1（4）易见极限函数为f(x)=0,x?(0,?). 精品文档 精品文档 （i）因为sup|fn(x)-f(x)|=sup|0?x+ィ0x<+?xx|=+?,所以{}在[0,+?]上不一致收nn敛. (ii) 因为limsup|fn(x)-f(x)|=limnx?[0,1000]n1000x=0,故{}??0,(nnn0,(n) ),x[0,1000] (5)易见极限函数f(x)=0. xl(i)因为sup|fn(x)-f(x)|=sup|sin|．nnx?[l,l]x?[l,l]x),x[l,l] 故sin??0,(nn(ii)因为supx?(?,ノ)|fn(x)-f(x)|=supx(-?,?)|sinx|=1 nx故{sin}在(-?,?)上不一致收敛. nf(x),xD,an0(n2.证明：设fn(x)|fn(x)-f(x)|Ｎan,x)(an>0)若对每一个正整数n有 0,(n),所以 D,则{fn}在D上一致收敛于f. D,n=1,2,...),且ann证明:因|fn(x)-f(x)|Ｎan,(xnx?Dfn|x-(f)x?()a|nlim limsup ),xD 故 fn(x)??f(x),(n3. 判别下列函数项级数在所示区间上的一致连续性： （1）?xn(-1)n-1x2,x?[r,r]; （2）?,x?(?,?); (n-1)!(1+x2)nxnn（3）?n,|x|>r?1; （4）?2,x?[0,1] nxn-1(-1)x2,x?(?,?); (6) ?(5)?,x?(?,?). 2n-1x2+n(1+x)xn|x|nrn|=?解：（1）\x?[r,r]，有| (n-1)!(n-1)!(n-1)!un+1rrnrn,则0,(n),所以? 令un=收敛，由M 判别法知，(n-1)!(n-1)!unn?nxn在[-r,r]上一致收敛。 (n-1)!(n-1)（2）令un(x)=(-1)|?uk(x)|?1,(nk=1x2,vn(x)=，则\x?(?,?)，有 (1+x2)n1,2,...).又对每一个x?(?,?),{vn(x)}单调递减，且由 x20＃(1+x2)n1n0(n)知，vn(x)??0,(n),x(,).由狄利克雷 判别法知?(-1)n-1x2在(-?,?)上一致收敛。 (1+x2)n精品文档 精品文档 nn1nn1nil=。（3）当|x有n￡n，且m因此当<1即r>1时，|?r0时，?rnxrr|x|rrn收敛，由M判别法知?n在|x|?r1上一致收敛，当r=1时，原级数不一 x致收敛。 xn1xn1（4）因|2|Ｎ2,(x[0,1],n=1,2,...)，而?2收敛，由M判别法知?2在 nnnn[0,1]上一致收敛。 （5）由莱布尼茨判别法知，在(-?,?)上任意一点x，?(-1)n收敛，由于2x+n(-1)n-11limsup|Rn(x)|=lim=0，故?在(-?,?)上不一致收敛。 nnx2+nn+1x?(?,?)（6）当x10时 1=1 sup|Rn(x)|=sup2n-1x?(?,ノ)x(-?,?)(1+x)故?x2在(-?,?)上不一致收敛。 2n-1(1+x)4.设函数项级数?un(x)在D上一致收敛于S(x),函数g(x)在D上有界.证明级数 ?g(x)un(x)在D上一致收敛于g(x)S(x). 因?un(x)在D上一致收敛于S(x)，所以，D，\e>0,$N,eS(x<)| M证明：设|g(x)|ＮM,x当n>N时，对一切x?D有 ) |?uk(x-于是，当n>N时，对任一x?D，有 |邋g(x)uk(x)-g(x)S(x)|=|g(x)||k=1nnuk(x)-S(x)| k=1故?g(x)un(x)在D上一致收敛于g(x)S(x)。 5. 若在区间I上，对任何自然数n,|un(x)|￡vn(x),证明当?vn(x)在I上一致收敛时，级数?un(x)在I上一致收敛。 \e>0,$N>0，证明：因?vn(x)在I上一致收敛，所以，当n>N时，对一切x?I和 p一切自 p然 |u数p|?kx， p都有 |?vn+px( |邋un+k=1k(＃x)k=1+n(< n|+)evk=1kx()故?un(x)在I上一致收敛。 6. 设un(x)（n=1,2,…）是[a,b]上的单调函数，证明：若?un(a)与?un(b)都绝 精品文档 精品文档 对收敛，则级数?un(x)在[a,b]上绝对并一致收敛。 证明：因un(x)(n=1,2,...)是[a,b]上的单调函数，所以， |un(x)|?|un(a)||un(b)|(n=1,2,...,x?[a,b]) 由?|un(a)|与?|un(b)|收敛知：?(|un(a)|+|un(b)|)收敛，故?un(x)在 [a,b]上绝对并一致收敛。 7. 在[0,1]上定义函数数列 11n, x= n1 un(x)= 0， x1 , n=1,2….. n证明：级数?un(x)在[0，1]上一致收敛，但它不存在优级数。 证明：因 ì11??,x=??n+1n+1???11?,x=??n+2n+2?? |un+1(x)+un+2(x)+...+un+p(x)|=? í,??11??,x=??n+pn+p???0,其他 ?????p1|n(p,=1,2于),是，\e>0，取所以，当0＃x1时，恒有|?un+k(x) e|?un+k(x)| k=1p假设?un(x)在[0,1]上存在优级数?Mn，取x=1，则 n11Mn?|un(x)||un()|=>0 nn11由?Mn收敛得知?收敛，这与?发散矛盾。故?un(x)不存在优级数。 nn §13.2 一致收敛函数列与函数项级数的性质 1．讨论下列各函数列{fn}在所定义的区间上： （a）{fn}与 {fn￠}的一致收敛性； （b）{fn}是否具有定理13.9，13.10，13.11的条件与结论。 xn2x+n,x?[0,1]; （1）fn(x)=,x?[0,b]; （2）fn(x)=x-nx+n精品文档