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n(itx)2(itx)2itx?n(t)???[e?1?itx?]dFnk(x)???[e?1?itx?]dFnk(x)。
22k?1x??k?1x??nitx由（4）（5）得，
?n(t)?t36t3???k?1x?nnxdFnk(x)?t232???k?1x?n2nxdFnk(x)
22 ?由（9）可见：对，有
6??k?1x???xdFnk(x)?t??x?k?1x?dFnk(x)。
对任意，可选使
nt2?n(t)???T??x2dFnk(x)。 （22）
6k?1x??3。
又有（10），存在正整数，使对此及有
。 （23）
于是当时，对一切，有
。
所以（21）式得证，综上所述，定理得证。 3.3.2 李雅普诺夫定理
定理2.6[1] 设为互相独立的随机变量序列，记，，，若存在，使如下条件成立
1lim2??n??Bn则对任意的实数，有
?E{Xk?akk?1n2??}?0，
1limP{n??Bn1(X?a)?x}??kk2?k?1n?x??edt。
?t22证[1]： 只要验证林德贝格条件满足，由林德贝格定理即可得到结论。
1由lim2??n??Bn?E{Xk?akk?1n2??}?0知，
1 ?2Bn(?Bn)?
???nx?ak2??dFk(x)
k?1x?ak?Bn
1 ???2???Bn1?E{?k?1nk?ak2??}?0。
所以，林德贝格条件满足，定理得证。
注：这两个定理仅要求各独立，而不要求同分布，林德贝格条件成立时，即对任意，有
。
这说明的每一个被加项，当充分大时，有
1P{Bn1(X?a)?x}??kk2?k?1n?x??edt。
?t22若记，，则近似的认为当充分大时，成立
。
在上式中，若已知，，三者中的两个，就可求出另一个。 因此，常常有如下的三种情况：
(1) 已知和，更准确地说是已知的取值范围，求概率.这类题目一般是直接使用中心极限定理。查正态分布表，求出概率的近似值。
(2) 已知和，求中的。这时也是应用中心极限定理，反查正态分布表，从而得到一个方程，从中可解出。
(3) 已知和（或的形式），求。往往是应用中心极限定理，反查正态分布表，从而得到一个方程，并从中解出。此时，可利用此，求出随机变量的取值范围。
3.4 三种场合下的中心极限定理的关系
棣莫弗——拉普拉斯与林德贝格——勒维定理的关系，棣莫弗——拉普拉斯定理实际上就是林德贝格——勒维定理在随机变量序列独立同分布的情形。
林德贝格——勒维定理是林德贝格定理的推论，证明如下： 证[5]： 设是独立同分布的随机变量序列，且有有限的期望和方差
，，
则
，
对任意的，有
1nn2(x?a)dF(x)?2?2?BnBnk?1x?a??Bnx?a?Bn??(x?a)2dF(x)
，
由于，所以当时，有
。
注：由林德贝格定理可知服从中心极限定理，即林德贝格——勒维定理成立。各定理的适用范围有些不同：若随机变量序列式独立同分布的，则用林德贝格——勒维定理；若随机变量序列不但是独立同分布的，而且服从伯努利分布，则用棣莫弗——拉普拉斯定理；若随机变量序列独立而不同分布时，则用李雅普诺夫定理或林德贝格定理。
第4章 用MATLAB实现对中心极限定理的模拟证明
4.1 数学模型[6]
设随机变量相互独立，且服从同一分布，具有数学期望和方差： ，，
则随机变量之和的标准化变量的分布函数对于任意满足。 独立同分布函数表达式， 正态分布函数表达式。
4.2 设计过程
为了验证当很大时，独立同分布近似地服从正态分布，分别构造独立同分布函数和正态分布函数，将独立同分布的随机点数目取得足够的大，然后绘图、观察这两种情况的分布拟合程度。 绘制独立同分布的图形： s=sum(r);
mu=mean(s); %求随机数的平均值 sigma=std(s); %求均方差
[n,x]=hist(s,mu-5*sigma:sigma:mu+5*sigma); %从其中取10个数的和 bar(x,n/M/sigma,'r') %绘制直方图 绘制正态分布的图形：
h=mu-5*sigma:0.1*sigma:mu+5*sigma; %从其中取100个数
a=-(h-mu).^2/(2*sigma^2); b=1/sqrt(2*pi)/sigma; t=b.*exp(a);
plot(h,t,'K') %绘制数值曲线
4.3 仿真结果
当时，
图3-1 中心极限定理
当时，
图3-2 中心极限定理
当时，
图3-3 中心极限定理
分析以上三幅图可知：从单独的一张图来看，正态分布曲线和独立同分布直方图总的来说是比较吻合的；比较这三张图形，可以看出第二张图形拟合的较好，第三张图形拟合的更好。而产生这种视觉效果，正是因为这三张图形所使用的源代码唯一的不同之处在于的取值，且。由此可以说明，当的取值很大时，独立同分布可以近似地趋近于正态分布。
第5章 中心极限定理的应用
5.1 用中心极限定理证明较复杂的极限等式
在求解一些较复杂的极限时，有时可采用概率论的方法进行求解，其中一部分需要利用中心极限定理，将所要求的极限式与已知的特殊概率分布相联系，从而解除一些用分析方法不易求解的极限值。
n2nn?n1例 证明：lim(1?n????)e?。
n??2!n!2[7]
证： 设为一独立同分布随机变量序列，每个均服从参数为的泊松分布，则，，服从参数为的泊松分布。 故