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由于，，故由特征函数的性质知，，，因此的泰勒级数展开式为
?(t)??(0)???(0)t?从而对任意固定的，有
???(0)21t2??(t2)?1??2t2??(t2)。
2t?tt2t2nn。 fn(t)?[?()]?[1???()]?e2，
2nnn?2显然，为连续函数，由定理知，存在分布函数，使，其中为的分布函数，而为的特征函数。由特征函数的唯一性知，为标准正态变量的分布函数，故的极限分布为标准正态分布，即
limFn(x)?limP(?n?x)??n??n??x??1?t2edt。 2?2注：①这个定理说明了，在定理所满足的条件下，当很大时，随机变量近似服从正态分布，或者说，当很大时，独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布。
②当足够大以后，有近似式：
P{i?1?(Xni??)n?1?x}?2??x??edt?P。
?t22类似的有如下三种情况：
（1）求； （2）求最小；
（3）在一定概率下的取值范围。
3.3 独立和的分布函数向正态分布函数收敛
3.3.1 林德贝格定理
定理2.5[1] 设为互相独立的随机变量序列，且满足林德贝格条件，即对任意，有
1nlim2??(x?ak)2dFk(x)?0。 (1) n??Bnk?1x?ak??Bn其中，为的分布函数，，。则服从中心极限定理，即对任意的实数，有
1limP{n??Bn
1(??a)?x}??kk2?k?1n?x??edt。 (2)
?t22证[1]：为证此定理，先证下列三个不等式：对任意实数，有
(3)
(4)
（5）实际上，当时，上
设，则
，
则
e?1?ia?ia面三式明显成立。
?a0(e?1)dx?ix?a0a2xdx?，
2!从而有
a2iae?1?ia??2?a0(eix?1?ix)dx??eix?1?ixdx??0aa0ax2dx?。 2!3!3利用，可见（1）（2）（3）的两边都是的偶函数，故它们都对成立。 令
（6）
以、分别表示的特征函数与分布函数，因而
Fnk(x)?P(?k?Bnx?ak)?Fk(Bnx?ak)， （7）
，， （8）
?D?k?1nnk???k?1n????1nxdFnk(x)?2?D?k?1。 （9）
Bnk?12在这些记法下，由（5）式知，
12Bn???n(x?ak)2dFk(x)?k?1x?ak?Bnx?ak??Bn?(x?ak2)dFk(x)?Bny???y2dFnk(y)。
故（1）可化为：对任意，有
。 （10）
而（2）可化为：对一致地有
1limP(??nk?x)?n??2?k?1如果在条件（10）下，能够证明的特征函数
n?t22x??edt。 （11）
?t22?n(t)??fnk(t)?e(n??)。
k?1n?亦即
t2log?n(t)??logfnk(t)??(n??)。 （12）
2k?1n则有特征函数定理可得（11）式成立；于是定理得证。 为了证明（12），可分为两步： 先证可展开为
log?n(t)??(fnk(t)?1)?Rn(t)。 （13）
k?1n
其中，函数在的任意有限区间上一致地趋于零。 实际上，由（8）的前一式知，
根据（4）有，
t2fnk(t)?1?2fnk(t)?1??(eitx?1?itx)dFnk(x)。 （14）
?????????t2xdFnk(x)?[?x2dFnk(x)??x2dFnk(x)]
x?s2x?s2
其中。由（10），对于一切充分大的，有，从而关于及任何有限区间中的，一致地有
， 。
因而对任意，一致地有
特别地，当时，对一切充分大的，下式成立： 因此，在中，有展开式
。 （16）
。 （15）
。 （17）
log?n(t)??logfnk(t)??log[1?(fnk(t)?1)]
k?1k?1nn。 （18）
其中
n?
(?1)s?1Rn(t)???(fnk(t)?1)s。
sk?1s?2由（17）知，
11nfnk(t)?1sRn(t)???fnk(t)?1??
2k?11?fnk(t)?1k?1s?22n?2
?maxfnk(t)?1??fnk(t)?1。
1?k?nk?1n但由（15）式中的第一个不等式及（9）式有，
?k?1nt2n??2t2fnk(t)?1???xdFnk(x)?。
2k?1??2故
。
由（16）可见，当时，关于任意有限区间中的一致地有
。 （19）
t2n??itx（2）令?n(t)????(e?1?itx)dFnk(x)，由（14）式得，
2k?1??。 （20）
若能证明：对任意有限区间中一致地有
。 （21）
那么以（20）代入（13）并联合（1）中结论，即得证（12），从而定理得以完全证明。
下证（21）：由（9）知，
。
对任意的，有