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第1章 引言
在实际生活中，有许多随机变量是由大量相互独立的随机因素综合形成的，因而它们均可表现为大量的随机变量之和。例如：某城市一小时内的耗电量是由足够多的用户耗电量的总和；发生虫害的某一地区的害虫数是由许多块地区上的害虫数的总和。因此，人们常常将这类由大量独立的随机变量之和的随机变量及其分布规律进行研究。在许多的场合下，随机变量的极限分布均可归结为随机变量之和的极限分布。
在随机变量的分布中，正态分布占有特殊重要的地位，人们常把它称为中心分布。诸如人的身高、体重、测量误差、产品的质量等等都是服从正态分布的随机变量。在某些条件下，也有很多不服从正态分布的独立的随机变量，当随机变量的个数达到一定的数量时，它们的和的分布趋于正态分布。例如学生考试成绩的分布、射击命中点与靶心距离的偏差等。经观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个个别因素在总影响中所起的作用不大，则这种量一般都服从或近似服从正态分布。在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理。中心极限定理是大样本统计推断的理论基础，因而在现实生活中具有重要意义。
有很多学者对中心极限定理及其应用方面得内容进行了探讨。如文献【1-3】对概率论与数理统计进行的研究，文献【4-6】则系统的对中心极限定理进行的阐述和证明，文献【7-17】则对中心极限定理的应用进行了列举，文献【18-22】是国外学者对中心极限定理的相关探讨，受上述文献的启发，本文主要介绍了三种不同场合下的中心极限定理的内容及其详细证明，进而探讨了各定理的适用范围及其在数学分析、概率统计和现实生活中的主要应用，另外讨论了这三种不同场合下的中心极限定理之间的关系.在定理的解释证明及应用方面，给出了三大定理较为详细的解释，并利用MATLAB来实现对中心极限定理的证明；在应用方面，举例说明了中心极限定理在近似计算、抽样推断以及如何利用正态分布近似产生正态随机数等方面的应用.其中，在近似计算中的应用中，主要包括在保险业、商场管理、统计推断及现代科学计算等领域中的应用.
第2章 预备知识
为了方便理解本文的知识，本文添加了相关概念和定理等。 定义1[1] 若随机变量的概率密度为
，，，，为常数，
则称服从参数为，的正态分布，记为。特别地，当，时，成服从标准正态分布。 定义2[1] 设是任一随机变量，称，是的特征函数。 性质1[1] 在上一致连续，且，。这里表示的共轭。 性质2[1]是非负定的，即对任意的一组及复数，恒有
，
其中为任意正整数。
性质3[1] 设是的特征函数，则的特征函数为
?a??b(t)?Eei(a??b)t?eibtEei?at。
性质[1] 设，的特征函数分别为，，又，相互独立，则的特征函数为。 性质[1] 若随机变量的阶阶矩存在，则的特征函数可微分次，且当时，。 定理1[2]（唯一性定理）若的特征函数为，则的分布函数在其连续点上的值为
1F(x)?limlimy???T??2?eity?eitx??Titf(t)dt。当为连续型随机变量时，其特征函数绝对
T可积，即，的分布密度为。
定理 [1] 设为一随机变量序列，它们相应的分布函数列为，对应的特征函数列为，若收敛于一连续函数，则存在一个分布函数，使其在的连续点上，有，而且就是分布函数的特征函数。
第3章 三种不同场合下的中心极限定理
定理3.1[1] 设是相互独立的随机变量序列，它们有有限的数学期望和方差，且，，
令，若对于任意的，都有
limP{?n??k?1nXk?ak1?x}?Bn2??x??edt.
?t22则称服从中心极限定理.
3.1 伯努利试验场合及棣莫弗——拉普拉斯定理
定理3.2[1] 设随机变量服从参数为的二项分布，则
1limP{?x}?n??np(1?p)2??n?np?x??edt。
?t22
证：将看成是由n个相互独立且服从同一个分布的随机变量之和，即
，
其中的分布律为
P{Xk?i}?pi(1?p)1?i,i?0,1。
由于
，，，
由中心极限定理知，
limP{n???n?np?x}?limP{k?1?x}?n??np(1?p)np(1?p)2??Xnk?np1?e??x?t22dt。
注：设在重伯努利试验中事件恰好发生的次数为，则
，，
其中为事件在每次试验中出现的概率，为事件在每次试验中不出现的概率，，则随机变量服从二项分布，记为。
这个定理表明，正态分布是二项分布的极限分布.如是次伯努利试验中事件出现的次数，即，当时，有
limP{a?n???n?npnp(1?p)?b}?12??bae?t22dt。
上式就是棣莫弗——拉普拉斯的积分极限定理。
定理3.3[1]
。
由此可得一渐进算式：
P{?n?k}?11?2(?enpq2?1k?np2)npq。
证[3]：
?P{k?0.5?npnpq??n?npnpqx2?2?k?0.5?np} npq
??k?np?0.5npqk?np?0.5npq1e2?dx
?12?e1k?np2?()2npq1npq。
注：棣莫弗——拉普拉斯定理直接用于二项分布的近似计算，它也用于频率与概率误差的计算，这主要体现在：
P{?nn?p??}?2?(?n)?1??。 pq这类计算一般分为三种情况：
（1）已知，，，求； （2）已知，，，求；
（3）已知，，，求，在未知时，可利用可得的估计式。
3.2 独立同分布场合及林德贝格——勒维定理
定理3.4[1] 设为相互独立、同分布的随机变量序列，且有有限的期望和方差，即
，，
则随机变量
的分布函数，对任意的，都有
limFn(x)?limP{i?1n??n???Xni?n?n?1?x}?2??x??e?t22。
证[1]：先考虑标准化随机变量和
。
设的特征函数为，由特征函数的性质和性质的推论知，的特征函数为：
。