发布时间 : 星期一 文章2019届北京市昌平区高三第二次统一练习数学(文)试题(解析版)更新完毕开始阅读
（III））取CD的中点M，连结PM，因为PC?PD?的中点，所以PM?CD，且PM?1，
2，CD?AB?2，M是CD 所因为平面PCD?平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD?CD，PM?平面PCD，以PM?平面ABCD，因为E为PB 中点， 所以VE?ABC?11111VP?ABC????2?1?1?． 223261． 6所以三棱锥E?ABCC的体积为
【点睛】
本题主要考查线面平面，线面垂直的证明以及三棱锥体积的求法，属于中档题。
x2y2319．已知椭圆G：2?2?1?a＞b＞0?的离心率为，经过点B（0，1）．设椭圆G
ab2的右顶点为A，过原点O的直线l与椭圆G交于P，Q两点（点Q在第一象限），且与线段AB交于点M．
（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得△BOP的面积是△BMQ的面积的3倍？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．
x2【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析 ?y2?1；
4【解析】（Ⅰ）根据离心率为3的椭圆过点(0,1)，结合a2?b2?c2，列出a、b、c 2的方程，即可得到椭圆的标准方程；
（x0，y0）（?x0，?y0）（Ⅱ）设Q，则P，经分析可知要使?BOP的面积是?BMQ的3
倍，等价于
OQ?3MQ，由此可表示出点M的坐标，由点M在线段AB上与点Q在椭圆G上
分别代入直线与椭圆的方程化解可得到关于y0的一元二次方程，解方程即可知是否存
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在直线l，使得?BOP的面积是?BMQ的面积的3倍． 【详解】
?b?1?a?2??3?c（Ⅰ）由题意可知：??，解得?b?1．
?a2222??c?3?a?b?c?x2∴椭圆G的标准方程为?y2?1．
4（x0，y0）0＜y0＜1． （?x0，?y0）（Ⅱ）设Q，则P，可知0＜x0＜2，若使?BOP的面积是?BMQ的面积的3倍，只需使得OQ?3MQ， 即OM?2?22??22?OQ??x0，y0?，即M?x0，y0?． 3?33??33?（2，0），B（01，） ，∴直线AB的方程为x?2y?2?0． 由A∵点M在线段AB上，∴
24x0?y0?2?0，整理得x0?3?2y0，① 332x022∵点Q在椭圆G上，∴?y0?1，②把①式代入②式可得8y0?12y0?5?0，
4∵判别式小于零，该方程无解．∴不存在直线l，使得?BOP的面积是?BMQ的面积的3倍． 【点睛】
本题考查椭圆的方程和性质，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，考查学生的运算能力，属于中档题。
20．已知函数f?x??[x??a?1?x?1]e．
2x（Ⅰ）若曲线y?f?x?在点0，f?0?处的切线与x轴平行，求a的值； （Ⅱ）若f?x?在x??1处取得极大值，求a的取值范围；
（Ⅲ）当a=2时，若函数g?x??mf?x??1有3个零点，求m的取值范围．（只需写出结论）
??e4?1?；【答案】（Ⅰ）?2；（Ⅱ）???，（Ⅲ）m＞
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【解析】（Ⅰ）对函数求导，由点0，f?0?处的切线与x轴平行可得f?(0)?0，即可求出实数a；
x（Ⅱ）对函数求导可得f'?x???x?1???x??a?2???e，令导数等于零，解得x1??1，
??x2??(a?2)，分类讨论x1与x2的大小，即可求出实数a的范围，使得f?x?在x??1处取得极大值；
（Ⅲ）对g(x)求导，分别讨论m大于零和小于零时函数的单调性，结合单调性，讨论函数极值的正负，即可求出使函数g?x??mf?x??1有3个零点时，m的取值范围。 【详解】
???．f（Ⅰ）函数f?x?的定义域为???，'2x?x?a?3x?a?2e?x???????．
因为曲线y?f?x?在点?0,f?0??处的切线与x轴平行，
所以f'(0)??a?2?e?0，解得a??2．此时f?0??1?0，所以a的值为?2．
0（Ⅱ）因为f'?x????x??a?2???e， ?x??a?3?x?a?2??e??x?1??2xx①若a＜?1，?（a?2）＞?1，
?1?时，x?1＜0，x??a?2?＜x?1＜0，所以f'?x?＞0； 则当x????，，??a?2?时，x?1＞0，x??a?2?＜0，所以f'?x?＜0． 当x??1所以f?x?在x??1处取得极大值．
??，??a?2???1，则当x???1，0?时，x?1＞0，x??a?2??x?1＞0， ②若a??1fx）所以f'?x?＞0．所以?1不是（的极大值点．
?1?． 综上可知，a的取值范围为???，（Ⅲ）当a?2时，g?x??mf?x??1=mx?3x?1e?1(x?R)，
2x???g?(x)?m(2x?3)ex?m(x2?3x?1)ex?m(x2?5x?4)ex?m(x?1)(x?4)ex，
当m=0时，函数g?x??mf?x??1=?1，不可能3个零点；
①当m?0时，令g?(x)?m(x?1)(x?4)ex=0，解得：x1??4，x2??1 令g?(x)?0，得?4?x??1，则g(x)在区间??4,?1?上单调递增；
令g?(x)?0，解得：x??4或x??1，则g(x)在区间???,?4?和??1,+??上单调递
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减；
由于当x??4时，x2?3x?1?0恒成立，m?0，ex?0 ，则当x??4时，
g(x)?m(x2?3x?1)ex?1?0 恒成立，所以函数g?x??mf?x??1最多只有两个零
点，即m?0不满足题意；
②当m?0时，令g?(x)?m(x?1)(x?4)ex=0，解得：x1??4，x2??1
令g?(x)?0，得：x??4或x??1，则g(x)在区间???,?4?和??1,+??上单调递增；令g?(x)?0，解得：?4?x??1，则g(x)在区间??4,?1?上单调递减；
?g(?4)?0e4? 要使函数g?x??mf?x??1有3个零点，则? ，解得：m＞
g(?1)?05?4e综上所述m的取值范围为(,??) ．
5【点睛】
本题考查了导数几何意义，以及导数在研究函数极值与零点中的应用，有一定难度。
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