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平面向量单元测试题
1．已知△ABC的三个顶点A、B、C及所在平面内一点P满足PA?PB?PC?AB，则点P与△ABC的关系为( )
A．P在△ABC内部B．P在△ABC外部 C．P在AB边所在直线上 D. P在△ABC的AC边的一个三等分点上
2．已知向量OP?(1,1),OP1?(4,?4)，且P2点分有向线段PP1 所成的比为－2，则OP2的坐标是 ( )
A．(?5,3) B．(5,?3C．（7，－9） D．（9，－7） 3．设?i,?2222)
j分别是x轴，y轴正方向上的单位向量，OP?3cos??i?3sin??j，??(0,??2),OQ??i。
若用来表示OP与OQ的夹角，则等于
A．?
B．
?2
??
C．
?2
?? D．???
5．设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知（DB?DC?2DA)?(AB?AC)?0,则△ABC的形
状是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
6．设非零向量a与b的方向相反，那么下面给出的命题中，正确的个数是 （ ）
(1)a＋b＝0 (2)a－b的方向与a的方向一致 (3)a＋b的方向与a的方向一致 (4)若a＋b的方向与b一致，则|a|<|b| A．１个 B．２个 C．３个 D．４个 7．已知|p|=22，|q|=3，p、q的夹角为45°，则以a=5p+2q，b=p－3q为邻边的平行四边形过a、b起点的对角线长为 A．14
B．15
C．15
D．16
8．下列命题中：
①a∥b?存在唯一的实数??R，使得b??a；②e为单位向量，且a∥e，则a=±|a|·e；③|a?a?a|?|a|3；④a与b共线，b与c共线，则a与c共线；⑤若
a?b?b?c则b?c,当且仅当a?0时成立
其中正确命题的序号是A．①⑤ B．②③④
C．②③ D．①④⑤
（ ） 9．在△ABC中，已知|AB|?4,|AC|?1,S?ABC?3,则AB?AC的值为
A．－2
B．2
C．±4
D．±2
10．已知，A（2，3），B（－4，5），则与AB共线的单位向量是 A．
e?(?31010,1010)B．e?(?31010,1010)或(31010,?1010)C．e?(?6,2)
D．e?(?6,2)或(6,2)
11．设点P分有向线段P31P2所成的比为4，则点P1分P2P所成的比为 A．?37 B．?74 C．?743 D．?7
12．已知a?(1,2),b?(?3,2),ka?b与a?3b垂直时k值为
A．17
B．18
C．19
D．20
13．已知向量a,b的夹角为
?3，|a|?2,|b|?1,则|a?b|?|a?b|? ． ( )
） ） ） ） ）（
（
（
（
（
14．把一个函数图像按向量a?(,?2)平移后，得到的图象的表达式为y?sin(x???63)?2，
则原函数的解析式为
15． 已知|a|=5,|b|=5, |c|=25,且a?b?c?0,则a?b?b?c?c?a=_______
16．已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P在抛物线y＝－4x运动，则使AP?BP取得最小值的点P的
坐标是
2
?????????????17．设向量OA?(3,1),OB?(?1,2)，向量OC垂直于向量OB，向量BC 平行于OA，则
OD?OA?OC时,OD的坐标为_________
18．已知M＝(1+cos2x，1)，N＝(1，3sin2x+a)(x，a∈R，a是常数)，且y=OM·ON (O是坐标原点)
⑴求y关于x的函数关系式y=f(x)； ⑵若x∈[0，
??]，f(x)的最大值为4，求a的值，并说明此时f(x)的图象可由y=2sin(x+)的图象26经过怎样的变换而得到．(8分)
19．已知A（－1，0），B（1，0）两点，C点在直线2x?3?0上，且AC?AB,CA?CB，BA?BC成等差数列，
记θ为CA与CB的夹角，求tanθ．(8分)
20．已知：a 、b、c是同一平面内的三个向量，其中a ＝（1，2） ⑴若|c|?25，且c//a，求c的坐标； ⑵若|b|=
21．已知向量a?(cosx,sin
5,且a?2b与a?2b垂直，求a与b的夹角θ(8分) 23xx?x),b?(cos,?sin),且x?[0,],求 22223⑴a?b及|a?b|;⑵若f(x)?a?b?2?|a?b|的最小值是?,求?的值;(8分)
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参考答案
1．D 2．C 3．D 4．B 5．B 6．A 7．C 8．C 9．D 10．B 11．C 12．C
13．21 14．y?cosx
15．-25 16．(0，0)
uuuruuuruuuruuuruuur17．解：设OC?(x,y),QOC?OB ，∴OC?OB?0，∴2y?x?0①
又?BC//OA,BC?(x?1,y?2)3(y?2)?(x?1)?0 即：3y?x?7②
uuuruuuruuuruuurx?14,?联立①、②得? ∴ OC?(14,7),于是OD?OC?OA?(11,6)．
?y?718．解：⑴y=OM·ON＝1+cos2x+3sin2x+a，得f(x) =1+cos2x+3sin2x+a；
??)+a+1，x∈[0，]。 62??当x＝时，f(x)取最大值a＋3＝4，解得a＝1，f(x) =2sin(2x+)+2。
66?将y=2sin(x+)的图象的每一点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标保持不变，再向上平移2
6?个单位长度可得f(x) =2sin(2x+)+2的图象。
6⑵f(x) =1+cos2x+3sin2x+a化简得f(x) =2sin(2x+19．解：设c(,y),则AC?AB?532?CA?CB?y2?54BA?BC??1
又∵三者AC?AB,CA?CB，BA?BC成等差数列． 533??2y2?4,?y2?,?y??24233
?c(,?)22
335313当c(,)时,CA?(?,?),CB?(?,?)
222222cos??27,?0????90?，?tan??23 同理c(3,?3)时,tan??3 222222220．解：⑴设c?(x,y),?|c|?25,?x?y?25,?x?y?20 ?c//a,a?(1,2),?2x?y?0,?y?2x
?y?2x?x?2?x??2 由?2 ∴? 或 ? 2y?4y??4x?y?20??? ∴c?(2,4),或c?(?2,?4)
⑵?(a?2b)?(2a?b),?(a?2b)?(2a?b)?0
2a?3a?b?2b?0,?2|a|?3a?b?2|b|?0 ……（※） ?|a|?5,|b|?(222222525)?,代入（※）中, 24 ?2?5?3a?b?2?55?0?a?b?? 42?5?5252 ?|a|?5,|b|?5a?b,?cos???2|a|?|b|??1,
???[0,?]???? 21．解：⑴a?b?cosx?cos32x3x?sinx?sin?cos2x 222 |a?b|? ?x?[0,(cos333xx?cos)2?(sinx?sin)2?2?2cos2x?2cos2x 2222?2],?cosx?0,?|a?b|?2cosx
⑵f(x)?cos2x?4?cosx,即f(x)?2(cosx??)2?1?2?2
?x?[0,],?0?cosx?1. 2?①当??0时，当县仅当cosx?0时，f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾； ②当0???1时,当且仅当cosx??时，f(x)取得最小值?1?2?，由已知得
31?1?2?2??,解得??；
222③当??1时,当且仅当cosx?1时，f(x)取得最小值1?4?，由已知得1?4???3
2 解得??
51，这与??1相矛盾，综上所述，??为所求. 82