《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案

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?复变函数与积分变换?期末试题(A)

吉林大学南岭校区2011年12月 题号 得分 得分 一 二 三 四 五 六 总分 一.填空题(每小题3分,共计15分)

1.1?i3的幅角是( ); 22.Ln(?1?i)的主值是( );

3.

f(z)?1(5)(0)?( ); 2,f1?zz?sinz4.z?0是 的( )极点;

z45. f(z)? 得分

1,Res[f(z),?]?( ); z二.选择题(每小题3分,共计15分)

1.解析函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)的导函数为( );

(A) (C)

f?(z)?ux?iuy; (B)f?(z)?ux?iuy;

f?(z)?ux?ivy; (D)f?(z)?uy?ivx.

C2.C是正向圆周z?3,如果函数f(z)?( ),则?f(z)dz?0.

(A)

3(z?1)333(z?1); (B); (C); (D). 22(z?2)(z?2)z?2z?2?ncz3.如果级数?nn?1在

z?2点收敛,则级数在

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(A)z(C)z??2点条件收敛 ; (B)z?2i点绝对收敛;

?1?i点绝对收敛; (D)z?1?2i点一定发散.

4.下列结论正确的是( )

(A)如果函数f(z)在z0点可导,则f(z)在z0点一定解析; (B) 如果f(z)在C所围成的区域内解析,则(C)如果

?Cf(z)dz?0

?Cf(z)dz?0,则函数f(z)在C所围成的区域内一定解析;

(D)函数

f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域内解析的充分必要条件是

u(x,y)、v(x,y)在该区域内均为调和函数.

5.下列结论不正确的是( ).

1?为sin的可去奇点;(A) (B) ?为sinz的本性奇点;

z(C) ?为的孤立奇点;(D) ?为1的孤立奇点. 1sinzsinz三.按要求完成下列各题(每小题10分,共计40分)

22221 得分 (1)设f(z)?x?axy?by?i(cx?dxy?y)是解析函数,求a,b,c,d.(2).计算

?Cezdz其中C是正向圆周:z?2; 2z(z?1)z15(3)计算?dz

z?3(1?z2)2(2?z4)3z(z2?1)(z?2)3(z?3)2(4)函数f(z)?在扩充复平面上有什么类型的奇

(sin?z)3点?,如果有极点,请指出它的级.

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得分 四、(本题14分)将函数f(z)?1在以下区域内展开成罗朗级数;

z2(z?1)(1)0?z?1?1,(2)0?z?1,(3)1?z??

得分 (本题 五.10分)用Laplace变换求解常微分方程定解问题

?y??(x)?5y?(x)?4y(x)?e?x??y(0)?y?(0)?1 得分

六、(本题6分)求

??f(t)?e??t(??0)的傅立叶变换,并由此证明:

cos?t???td??e22?2?0????复变函数与积分变换?期末试题(A)答案及评分标准

一.填空题(每小题3分,共计15分)

1.

1?i3?的幅角是(??2k?,k?0,?1,?2?); 2313?i ) 2.Ln(?1?i)的主值是( ln2?;

241(5)f(0)?( 0 )3. f(z)?,,

1?z2z?sinz4.z?0是 的( 一级 )极点;

z45. f(z)?1,Res[f(z),?]?(-1 ); z二.选择题(每题4分,共24分)

1.解析函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)的导函数为(B );

共6页第 3 页

(A) (C)

f?(z)?ux?iuy; (B)f?(z)?ux?iuy;

f?(z)?ux?ivy; (D)f?(z)?uy?ivx.

C2.C是正向圆周z?3,如果函数f(z)?( D ),则?f(z)dz?0.

(A)

3(z?1)333(z?1); (B); (C); (D). 22(z?2)(z?2)z?2z?2?ncz3.如果级数?nn?1在

z?2点收敛,则级数在(C)

(A)z(C)z??2点条件收敛 ; (B)z?2i点绝对收敛;

?1?i点绝对收敛; (D)z?1?2i点一定发散.

4.下列结论正确的是( B )

(A)如果函数f(z)在z0点可导,则f(z)在z0点一定解析; (B) 如果f(z)在C所围成的区域内解析,则(C)如果

?Cf(z)dz?0

?Cf(z)dz?0,则函数f(z)在C所围成的区域内一定解析;

(D)函数

f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域内解析的充分必要条件是

u(x,y)、v(x,y)在该区域内均为调和函数.

5.下列结论不正确的是( D ).

1(A)、?为sin的可去奇点;(B)、?为sinz的本性奇点;

z(C)、?为的孤立奇点.(D)、?为1的孤立奇点; 1sinzsinz1三.按要求完成下列各题(每小题10分,共40分)

(1).设f(z)?x?axy?by?i(cx?dxy?y)是解析函数,求

2222a,b,c,d.

解:因为f(z)解析,由C-R条件

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