发布时间 : 星期日 文章2021版高考数学一轮复习选修4 - 5不等式选讲第2讲不等式的证明教案文新人教A版更新完毕开始阅读
第2讲 不等式的证明
一、知识梳理 1．基本不等式
定理1：设a，b∈R，则a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 定理2：如果a，b为正数，则
2
2
a＋b2
≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
3
≥abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
定理3：如果a，b，c为正数，则
a＋b＋c3
定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则
a1＋a2＋…＋ann≥ a1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
n2．不等式的证明方法
证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等． 常用结论
基本不等式及其推广
1．a≥0(a∈R)．
2
?a＋b?≥ab，a2＋b2≥1(a＋b)2. 2．(a－b)≥0(a，b∈R)，其变形有a＋b≥2ab，??2?2?
2
2
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2
3．若a，b为正实数，则
2
2
2
a＋b2
≥ab.特别地，＋≥2.
baab4．a＋b＋c≥ab＋bc＋ca. 二、教材衍化 求证：3＋7<2＋6. 证明：3＋7<2＋6
?(3＋7)<(2＋6) ?10＋221<10＋46
?21<26?21<24.故原不等式成立．
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．( )
(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论．( )
(3)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× 二、易错纠偏
常见误区不等式放缩不当致错.
已知三个互不相等的正数a，b，c满足abc＝1.试证明：
22
a＋b＋c<＋＋.
abc证明：因为a，b，c>0，且互不相等，abc＝1，所以a＋b＋c＝111111＋＋＋
bcacab111111<＋＋＝＋＋，即a＋b＋c<＋＋. 222abcabc
用综合法、分析法证明不等式(师生共研)
(2019·高考全国卷Ⅰ)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明： 111222
(1)＋＋≤a＋b＋c；
1
111
bc＋
1
ac＋
1
ababc3
(2)(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥24.
证明：(1)因为a＋b≥2ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ac，又abc＝1，故有a＋b＋c≥
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2
2
2
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2
2
2
33
ab＋bc＋ca111
ab＋bc＋ca＝＝＋＋.当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．
abcabc111222
所以＋＋≤a＋b＋c.
abc(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有
3333333
(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥3（a＋b）（b＋c）（a＋c） ＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c) ≥3×(2ab)×(2bc)×(2ac)
＝24.当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立． 所以(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥24.
用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提．充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．
3
3
3
a3b3
1．若a，b∈R，ab>0，a＋b＝1.求证：＋≥1.
ba2
2
a3b3a4＋b4（a2＋b2）2－2a2b21证明：＋＝＝＝－2ab.
baababab因为a＋b＝1≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立， 1
所以0 2 11 令h(t)＝－2t，0 t2 11 则h(t)在(0，]上递减，所以h(t)≥h()＝1. 2211 所以当0 2ab2 2 a3b3 所以＋≥1. ba2．(一题多解)(2020·宿州市质量检测)已知不等式|2x＋1|＋|2x－1|<4的解集为M. (1)求集合M； (2)设实数a∈M，b?M，证明：|ab|＋1≤|a|＋|b|. 11 解：(1)当x<－时，不等式化为－2x－1＋1－2x<4，即x>－1，所以－1 2211 当－≤x≤时，不等式化为2x＋1－2x＋1<4， 22即2<4， 11所以－≤x≤； 22 1 当x>时，不等式化为2x＋1＋2x－1<4，即x<1， 21 所以 2 综上可知，M＝{x|－1 (2)法一：因为a∈M，b?M，所以|a|<1，|b|≥1. 而|ab|＋1－(|a|＋|b|) ＝|ab|＋1－|a|－|b| ＝(|a|－1)(|b|－1)≤0， 所以|ab|＋1≤|a|＋|b|. 法二：要证|ab|＋1≤|a|＋|b|， 只需证|a||b|＋1－|a|－|b|≤0， 只需证(|a|－1)(|b|－1)≤0， 因为a∈M，b?M，所以|a|<1，|b|≥1， 所以(|a|－1)(|b|－1)≤0成立． 所以|ab|＋1≤|a|＋|b|成立． 放缩法证明不等式(师生共研) |a＋b||a||b| 若a，b∈R，求证：≤＋. 1＋|a＋b|1＋|a|1＋|b|【证明】 当|a＋b|＝0时，不等式显然成立． 当|a＋b|≠0时， 由0＜|a＋b|≤|a|＋|b|? 11 ≥， |a＋b||a|＋|b| |a＋b|11所以＝≤ 1＋|a＋b|11 ＋11＋|a＋b||a|＋|b|＝＋ |a|＋|b||a||b||a|＝＋≤ 1＋|a|＋|b|1＋|a|＋|b|1＋|a|＋|b|1＋|a||b| . 1＋|b| 在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．常见的放缩变换有：