发布时间 : 星期日 文章2020年中考数学压轴题-专题24 函数综合(角度和距离)(解析版)更新完毕开始阅读
在RtVPBH中,tan?BPQ?BHPH?4?m3. 故?BPQ的正切值为:
4?m3.
?3?设PB与x轴交于点M. 由?1?得点A坐标为??6,0?. 又P??3,4?,
?AP?5.
Q射线PB平分?APQ,
??APB??BPQ.
QPQ//x轴,??AMP??BPQ,
??AMP??APB,
?AP?AM?5,
?M??1,0?.
设直线PB为y?kx?b?k?0?,把点P??3,4?,M??1,0?代入,得:?点B为?0,?2?.
?BH?4?m?4???2??6.
Q射线PB平分?APQ,PH?PQ,
?点B到直线AP的距离为6.
y?2x?2,
【点睛】本题是二次函数的综合题,分别考查了待定系数法求解析式、构造直角三角形求三角函数值、利用点的坐标表示相关线段长度,以及角平分线的性质定理来得点到直线的距离等知识点,综合性较强,难度较大.
2.如图,已知二次函数y?ax2?bx?3的图像经过点A(m,0)和点B(4,3),与y轴相交于点C,顶点为D,且tan?OCA?3。
(1)求这个二次函数的解析式,并写出顶点D的坐标;
(2)设点A关于y轴的对称点为E,联结DE、CD,求?CDE的度数。
【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.点的坐标:A(m,0),B(4,3),C(0,3); 2.二次函数经过A(m,0),B(4,3),C(0,3)三点; 3.其它已知条件:tan?OCA?3。
二.求解二次函数的解析式:先利用tan?OCA?3求解A点坐标,再将点A(m,0)、B(4,3)的坐标代入函数解析式,解方程组可得。 三.求?CDE的度数: 1.写出点C、D、E的坐标;
2.判定?CDE的形状:可得?CDE为等腰直角三角形 3.求解?CDE的度数。
【满分解答】
(1)根据题意,得点C的坐标为(0,3)。 在Rt?AOC中,
∵tan∠OAC=3,∴OA=1,即点A的坐标为(1,0).
?0?a?b?3,?a?1,∴? 解得?
3?16a?4b?3.b??4.??∴所求的函数解析式为y?x2?4x?3. 顶点D的坐标为(2,-1).
(2)根据题意,得点E的坐标为(-1,0),联结CE。 ∵CE?10,DE?10,CD?25,∴CE2?DE2?CD2。 ∴?CDE是等腰直角三角形。 ∴∠CDE=45°。
3.如图,已知抛物线与x轴交于点A(?2,0),与y轴交于点C(0,8)。 0),B(4,(1)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标;
(2)设直线CD交x轴于点E;在线段OB的垂直平分线上是否存在点P,使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由。
【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.点的坐标:A(?2,0),C(0,8); 0),B(4,2.二次函数经过A(?2,0),C(0,8)三点。 0),B(4,二.求解二次函数解析式和顶点坐标:将A(?2,0)、C(0,8)三点代入函数解析式,解方程组;0)、B(4,再利用配方法求顶点坐标。 三.求解点P的坐标:
1.条件:点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离;
2.利用直线交点情况求解点E、F的坐标,可得E(?8,0)、F(2,10);
3.设OB的垂直平分线交x轴于点H,直线CD交线段OB的垂直平分线于点F,过点P作PQ?CD交CD于点Q; 4.设P(2,m),利用Rt?FPQ∽Rt?FEH求解点P的坐标;在计算求解。
【满分解答】
(1)设该抛物线的解析式为y?ax?bx?c, 由抛物线与y轴交于点C(0,8),可知c?8
即抛物线的解析式为y?ax?bx?8.
22?4a?2b?8?0把A(?2, 解得a??1,b?2. 0),代入, 得?0),B(4,16a?4b?8?0?∴ 抛物线的解析式为y??x?2x?8 ∴ 顶点D的坐标为(1,9)。
(2)设OB的垂直平分线交x轴于点H,直线CD交线段OB的垂直平分线于点F, 直线CD的解析式为y?kx?b(k?0)
∴ b?8,k?1,即直线CD的解析式为y?x?8
∴ 点E坐标为(?8,0) , 点F坐标为 (2,10),EH?FH?10,EF?102 假设线段OB的垂直平分线上存在点P,那么令点P坐标为 (2,m), 过点P作PQ?CD交CD于点Q,则有OP?PQ?由题意知,Rt?FPQ∽Rt?FEH
24?m2,PF?10?m
PQFP4?m210?m∴.∴ ??EHEF10102解得 m??83?10 ∴ 点P坐标为 (2,?83?10)