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2020北京市丰台区高三数学二模（含答案）
2020.06
第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1． 集合A??x?Z?2?x?2?的子集个数为
（A）4 2． 函数f(x)?1x?2x2（B）6 的定义域为
（C）7 （D）8
（A）(0,2)
（C）(??,0)U(2,??)
3． 下列函数中，最小正周期为?的是
11（A）y?sinx （B）y?sinx
22（B）[0,2]
（D）(??,0]U[2,??)
?（C）y?cos(x?)
4（D）y?12tanx
4． 已知数列?an?的前n项和Sn?n2?n，则a2?a3?
（A）3
（B）6
（C）7
（D）8
5． 设a，b为非零向量,则“a?b”是“a+b?a?b”的
（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件
2（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
y2?x2?1的一个焦点重合，则p? 6． 已知抛物线M:x?2py(p?0)的焦点与双曲线N:3（A）2
（B）2
（C）22
（D）4
7． 已知函数f(x)?ln(1?x)?ln(1?x)，则f(x)
（A）是奇函数，且在定义域上是增函数 （B）是奇函数，且在定义域上是减函数 （C）是偶函数，且在区间(0，1)上是增函数 （D）是偶函数，且在区间(0，1)上是减函数
8. 如图所示，一个三棱锥的主视图和左视图均为等边三角形，俯视图为
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等腰直角三角形，则该棱锥的体积为 （A）
234 （B） 33（C）
433 （D）23 9. 在△ABC中，AC?3，BC?7，AB?2，则AB边上的高等于
（A）23
（B）33 2（C）26 2（D）
3 210. 某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他们还将进行四
场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为a,b,c(a?b?c,且a,b,c?N)；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是
（A）每场比赛的第一名得分a为4 （B）甲至少有一场比赛获得第二名 （C）乙在四场比赛中没有获得过第二名 （D）丙至少有一场比赛获得第三名
?第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知复数z?2?i，则z? ．
12. 已知直线x?y?1?0的倾斜角为?，则cos?? ．
x2y213. 双曲线M:2?2?1(a?0,b?0)的离心率为3，则其渐近线方程为 .
ab14． 天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.干支纪年法中，天干地支对应的规律如下表：
天干 地支 干支 纪年 甲子年 乙丑年 丙 寅年 丁 卯年 戊 辰年 己 巳年 庚 午年 辛 未年 壬 申年 癸 酉年 甲 戌年 乙 亥年 丙 子年 ┈ 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 ┈ ┈ 2049年是新中国成立100周年.这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴.使用干支纪年法，2049年
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是己巳年，则2059年是_____年；使用干支纪年法可以得到______种不同的干支纪年.
15．已知集合P?(x,y)|(x?cos?)?(y?sin?)?4,0????.由集合P中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”. 给出下列结论： ① “水滴”图形与y轴相交，最高点记为A，则点A的坐标为（0，1）； ②在集合P中任取一点M，则M到原点的距离的最大值为3；
③阴影部分与y轴相交，最高点和最低点分别记为C，D，则CD?3?3；
?22?④白色“水滴”图形的面积是其中正确的有__________．
116??3. 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）
如图，四边形ABCD为正方形， MA‖PB，MA?BC，AB?PB，
MA?1，AB?PB?2.
（Ⅰ）求证：PB?平面ABCD；
（Ⅱ）求直线PC与平面PDM所成角的正弦值.
17.（本小题共14分）
已知等差数列?an?的前n项和为Sn，a1?2，S5=20. （Ⅰ）求数列?an?的通项公式；
（Ⅱ）若等比数列?bn?满足a4?b4?9，且公比为q，从①q?2；②q?一个作为题目的已知条件，求数列?an?bn?的前n项和Tn. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18.（本小题共14分）
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12；③q??1这三个条件中任选
为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：
（Ⅰ）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查. 求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；
（Ⅱ）现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导. 规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由.
19.（本小题共15分）
已知函数f(x)?x?1ex.
（Ⅰ）求函数f(x)的极值；
（Ⅱ）求证：当x?(0,??)时，f(x)??12x2?1；
2（Ⅲ）当x?0时，若曲线y?f(x)在曲线y?ax?1的上方，求实数a的取值范围.
20.（本小题共14分）
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