发布时间 : 星期四 文章(完整版)2010年天津市高考数学试卷(理科)答案与解析更新完毕开始阅读
∵，
∴cos∠DAC=sin∠BAC，
，
在△ABC中，由正弦定理得
变形得|AC|sin∠BAC=|BC|sinB，
，
=|BC|sinB=
=
，
故答案为．
【点评】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题
16．（4分）（2010?天津）设函数f（x）=x2﹣1，对任意x∈[，+∞），f（）﹣4m2f（x）≤f（x﹣1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是 【考点】函数恒成立问题． 【专题】函数的性质及应用．
．
【分析】依据题意得在
上恒定成立，即
求出函数函数
在上恒成立，
的最小值即可求出m的取值．
【解答】解：依据题意得在
上恒定成立，
即令g（x）=∵
∴g′（x）＞0 ∴当所以
时，函数
，
取得最小值
，
，
在，g′（x）=
，
上恒成立．
9
即（3m2+1）（4m2﹣3）≥0， 解得
或
， ]∪[
，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣
【点评】本题是较为典型的恒成立问题，难度较大，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解．
三、解答题（共6小题，满分76分） 17．（12分）（2010?天津）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（x∈R） （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，（Ⅱ）若f（x0）=，x0∈[
，
]上的最大值和最小值；
]，求cos2x0的值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】先将原函数化简为y=Asin（ωx+φ）+b的形式
（1）根据周期等于2π除以ω可得答案，又根据函数图象和性质可得在区间[0，值．
（2）将x0代入化简后的函数解析式可得到sin（2x0+（2x0+
）的值，
）可得答案．
sinxcosx+2cos2x﹣1，得
sin2x+cos2x=2sin（2x+
）
）=，再根据x0的范围可求出cos
]上的最
最后由cos2x0=cos（2x0+【解答】解：（1）由f（x）=2f（x）=
（2sinxcosx）+（2cos2x﹣1）=
所以函数f（x）的最小正周期为π． 因为f（x）=2sin（2x+又f（0）=1，f（最小值为﹣1．
（Ⅱ）由（1）可知f（x0）=2sin（2x0+又因为f（x0）=，所以sin（2x0+由x0∈[
，
]，得2x0+）=﹣
∈[
，
）
）在区间[0，
]上为增函数，在区间[
，
]上为减函数， ]上的最大值为2，
）=2，f（）=﹣1，所以函数f（x）在区间[0，
）=
]
=﹣．
从而cos（2x0+所以
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cos2x0=cos[（2x0+）﹣]=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=．
【点评】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数y=Asin（ωx+φ）的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力．
18．（12分）（2010?天津）某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响．
（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率
（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标．另外2次未击中目标的概率； （Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总的分数，求ξ的分布列．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率． 【专题】概率与统计．
【分析】（I）由题意知每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响，设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则X～
．利用二项分布的概率公式得到结
果，
（II）有3次连续击中目标．另外2次未击中目标包括三种情况，即连续的三次射击在第一位，在第二位，在第三位，这三种情况是互斥的，根据独立重复试验和互斥事件的概率公式得到结果．
（III）ξ为射手射击3次后的总的分数，由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，6，结合变量对应的事件，写出变量的概率，写出分布列．
【解答】解：（1）每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响 设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则X～在5次射击中，恰有2次击中目标的概率
（Ⅱ）设“第i次射击击中目标”为事件Ai（i=1，2，3，4，5）；
“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A，则
==
．
（Ⅲ）由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，6
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= =
P（ζ=6）=P（A1A2A3）=∴ξ的分布列是 ξ 0 1 P
2
3
6
【点评】本题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和
相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力． 19．（12分）（2010?天津）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF=AB=2CE，AB：AD：AA1=1：2：4， （1）求异面直线EF与A1D所成角的余弦值； （2）证明AF⊥平面A1ED；
（3）求二面角A1﹣ED﹣F的正弦值．
【考点】异面直线及其所成的角；与二面角有关的立体几何综合题． 【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何． 【分析】（1）在空间坐标系中计算出两个直线的方向向量的坐标，由数量公式即可求出两线夹角的余弦值．
（2）在平面中找出两条相交直线来，求出它们的方向向量，研究与向量内积为0即可得
到线面垂直的条件．
（3）两个平面一个平面的法向量已知，利用向量垂直建立方程求出另一个平面的法向量，然后根据求求二面角的规则求出值即可． 【解答】解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB=1，依题意得D（0，2，0）， F（1，2，1），A1（0，0，4），E（1，，0）． （1）易得
=（0，，1），
=（0，2，﹣4）．
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