发布时间 : 星期日 文章2018届高考数学一轮复习第九章解析几何9.9直线与圆锥曲线学案更新完毕开始阅读
§9.9 直线与圆锥曲线
考纲展示?
1.掌握解决直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系的思想方法. 2.了解圆锥曲线的简单应用. 3.理解数形结合的思想.
考点1 直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x,y)=0,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程.
即?
?Ax+By+C=0,???Fx,y=0,
消去y,得ax+bx+c=0.
2
2
(1)当a≠0时,设一元二次方程ax+bx+c=0的判别式为Δ,则Δ>0?直线与圆锥曲线C________;
Δ=0?直线与圆锥曲线C________; Δ<0?直线与圆锥曲线C________.
(2)当a=0,b≠0时,即得到一个一次方程,则直线l与圆锥曲线C相交,且只有一个交点,此时,若C为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是________;若C为抛物线,则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是________.
答案:(1)相交 相切 相离 (2)平行 平行或重合
[典题1] (1)[2017·甘肃兰州检测]若直线mx+ny=4和圆O:x+y=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数为( )
94
A.至多一个 C.1 [答案] B
B.2 D.0
2
2
x2y2
[解析] ∵直线mx+ny=4和圆O:x+y=4没有交点,∴∴m+n<4.
52
∴+<+=1-m<1, 949436∴点(m,n)在椭圆+=1的内部,
94
∴过点(m,n)的直线与椭圆+=1的交点有2个.
94
2
2
22
4
m2+n2
>2,
m2n2m24-m2
x2y2
x2y2
2
(2)若直线y=kx+2与双曲线x-y=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是( ) A.?-C.?-
2
????
1515?,? 33?15?,0? 3?
B.?0,D.?-
?
???
15?? 3?15?,-1? 3?
[答案] D
??y=kx+2,
[解析] 由?22
?x-y=6,?
2
2
得
(1-k)x-4kx-10=0.
设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x1,y1),
B(x2,y2),
?Δ=16k-41-k?4k则?x+x=>0,
1-k-10?xx=?1-k>0,
2
1
2
2
12
2
1-k≠0,
2
2
×-10>0,
解得-
15
<k<-1. 3
即k的取值范围是?-
??15?,-1?. 3?
[点石成金] 直线与圆锥曲线的位置关系的两种判定方法及两个关注点 (1)判定方法
①代数法:即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x,y的方程组,消去y(或x)得一元方程,此方程根的个数即为交点个数,方程组的解即为交点坐标.
②几何法:即画出直线与圆锥曲线的图象,根据图象判断公共点个数. (2)关注点
①联立直线与圆锥曲线的方程消元后,应注意讨论二次项系数是否为零的情况. ②判断直线与圆锥曲线的位置关系时,判别式Δ起着关键性的作用,第一:可以限定所给参数的范围;第二:可以取舍某些解以免产生增根.
考点2 弦长问题
圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则 |AB|=1+k|x1-x2| =1+k·==
2
2
x1+x2
2
-4x1x2
1
1+2·|y1-y2|
kk11+2·
y1+y2
2
-4y1y2.
x2y2
[典题2] [2017·贵阳摸底]如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆2+2=1(a>b>0)
ab1
的离心率为,过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时,AB=4.
2
(1)求椭圆的方程;
48
(2)若|AB|+|CD|=,求直线AB的方程.
7
c1
[解] (1)由题意知,e==,2a=4.
a2
又a=b+c,
2
2
2
解得a=2,b=3, 所以椭圆的方程为+=1.
43
(2)①当两条弦中的一条弦所在直线的斜率为0时,另一条弦所在直线的斜率不存在,由题意知,|AB|+|CD|=7,不满足条件.
②当两条弦所在直线的斜率均存在且不为0时,设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,
x2y2
y1),B(x2,y2),
1
则直线CD的方程为y=-(x-1).
k将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理,得 (3+4k)x-8kx+4k-12=0, 8k4k-12
则x1+x2=2,x1x2=2,
3+4k3+4k所以|AB|=k+1|x1-x2| =k+1·=12
2
22
2
2
2
2
2
x1+x2
2
-4x1x2
k2+1. 2
3+4k?1?12?2+1??k?12k2+1
同理,|CD|==. 2
43k+43+2
k12
所以|AB|+|CD|=
2
2
2
k2+112k+1
+ 22
3+4k3k+4
=
84k+148=, 22
3+4k3k+47
解得k=±1,
所以直线AB的方程为x-y-1=0或x+y-1=0. [点石成金] 处理弦长问题的两个注意点
(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形,若k不存在时,可直接求交点坐标再求弦长;
(2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用.
过抛物线y=2px(p>0)焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为________.
答案:y=3x
2
2