发布时间 : 星期一 文章高中数学三角函数专题复习(内附类型题以及历年高考真题,含答案免费)更新完毕开始阅读
类题: 1.已知tanx=2,求sinx,cosx的值. 解:因为tanx?sinx?2,又sin2x+cos2x=1, cosx?sinx?2cosx,联立得?2 2sinx?cosx?1??25?25sinx???sinx???5?5 解这个方程组得?,?.5?5?cosx?cosx???5?5??2.求
tan(?120?)cos(210?)sin(?480?)tan(?690)sin(?150)cos(330)???的值.
解:原式
tan(?120??180?)cos(180??30?)sin(?360??120?)? ?o???tan(?720?30)sin(?150)cos(360?30)tan60?(?cos30?)(?sin120?)???33. ???tan30(?sin150)cos303.若
sinx?cosx?2,,求sinxcosx的值.
sinx?cosxsinx?cosx?2,
sinx?cosx解:法一:因为
所以sinx-cosx=2(sinx+cosx),
得到sinx=-3cosx,又sin2x+cos2x=1,联立方程组,解得
?310?310sinx?sinx?????10?10 ,,??10?10?cosx??cosx??10?10??3? 10sinx?cosx法二:因为?2,
sinx?cosx所以sinxcosx??所以sinx-cosx=2(sinx+cosx), 所以(sinx-cosx)2=4(sinx+cosx)2, 所以1-2sinxcosx=4+8sinxcosx, 所以有sinxcosx??3? 104.求证:tan2x·sin2x=tan2x-sin2x.
证明:法一:右边=tan2x-sin2x=tan2x-(tan2x·cos2x)=tan2x(1-cos2x)=tan2x·sin2x,问题得证. 法二:左边=tan2x·sin2x=tan2x(1-cos2x)=tan2x-tan2x·cos2x=tan2x-sin2x,问题得证.
5.求函数y?2sin(?x2π)在区间[0,2??]上的值域. 6xπxπ7π?π,???,由正弦函数的图象, 26266解:因为0≤x≤2π,所以0?xπ1得到sin(?)?[?,1],
262所以y∈[-1,2].
6.求下列函数的值域.
(1)y=sin2x-cosx+2; (2)y=2sinxcosx-(sinx+cosx). 解:(1)y=sin2x-cosx+2=1-cos2x-cosx+2=-(cos2x+cosx)+3,
令t=cosx,则t?[?1,1],y??(t利用二次函数的图象得到y?[1,2113113?t)?3??(t?)2???(t?)2?,
242413]. 4π2,sin(x?),则
4(2)y=2sinxcosx-(sinx+cosx)=(sinx+cosx)2-1-(sinx+cosx),令t=sinx+cosx?5t?[?2,2]则,y?t2?t?1,利用二次函数的图象得到y?[?,1?2].
47.若函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的图象的一个最高点为(2,2),它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于(6,0),求这个函数的一个解析式.
解:由最高点为(2,2),得到A?2,最高点和最低点间隔是半个周期,从而与x轴交点的间隔是个周期,这样求得
14Tπ?4,T=16,所以???
84ππ2sin(x?).
84ππ又由2?2sin(?2??),得到可以取??.?y?8444
8.已知函数f(x)=cosx-2sinxcosx-sinx.
π2(Ⅰ)求f(x)的最小正周期; (Ⅱ)若x?[0,],求f(x)的最大值、最小值. 数y?1?sinx的值域.
3?cosx解:(Ⅰ)因为f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x=(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-sin2x ππ?(cos2x?sin2x)?sin2x?cos2x?sin2x?2sin(?2x)??2sin(2x?)
44所以最小正周期为π.
πππ3ππ3π(Ⅱ)若x?[0,],则(2x?)?[?,],所以当x=0时,f(x)取最大值为?2sin(?)?1;当x?时,
244448f(x)取最小值为?1. 已知tan??2.
2,求(1)
cos??sin?;(2)sin2??sin?.cos??2cos2?的值.
cos??sin?
sin?cos??sin?cos??1?tan??1?2??3?22; ?解:(1)
sin?1?tan?1?2cos??sin?1?cos?sin2??sin?cos??2cos2?22 (2) sin??sin?cos??2cos??
sin2??cos2?sin2?sin???222?2?24?2?? ?cos?2cos?.
sin?2?13?1cos2?1?说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到),进行弦、切互化,就会使解题过程简化。
2. 求函数y?1?sinx?cosx?(sinx?cosx)的值域。 解:设t?sinx?cosx?2π2sin(x?)?[?2,2],则原函数可化为
413y?t2?t?1?(t?)2?,因为t?[?2,2],所以
2413当t?2时,ymax?3?2,当t??时,ymin?,
243所以,函数的值域为y?[,3?2]。
4
3.已知函数f(x)?4sinx?2sin2x?2,x?R。
(1)求f(x)的最小正周期、f(x)的最大值及此时x的集合; (2)证明:函数f(x)的图像关于直线x??22π对称。 82解:f(x)?4sinx?2sin2x?2?2sinx?2(1?2sinx) ?2sin2x?2cos2x?22sin(2x?) (1)所以f(x)的最小正周期T?π,因为x?R,
π4ππ3π?2kπ?,即x?kπ?时,f(x)最大值为22; 428π(2)证明:欲证明函数f(x)的图像关于直线x??对称,只要证明对任意x?R,有
8ππ f(??x)?f?(?x成立,)88ππππ因为f(??x)?22sin[2(??x)?]?22sin(??2x)??22cos2x,
8842ππππf(??x)?22sin[2(??x)?]?22sin(??2x)??22cos2x,
8842所以,当2x?
所以f(?
πππ?x)?f(??x)成立,从而函数f(x)的图像关于直线x??对称。 888312
cosx+sinx·cosx+1 (x∈R),
224. 已知函数y=
(1)当函数y取得最大值时,求自变量x的集合;
(2)该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?
3311122
cosx+sinx·cosx+1= (2cosx-1)+ +(2sinx·cosx)+1
224443151??5=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+
44426641?5=sin(2x+)+ 264???所以y取最大值时,只需2x+=+2kπ,(k∈Z),即 x=+kπ,(k∈Z)。
626?所以当函数y取最大值时,自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}
6解:(1)y=
(2)将函数y=sinx依次进行如下变换:
??,得到函数y=sin(x+)的图像; 661?(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到函数y=sin(2x+)的图像;
2611?(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变),得到函数y=sin(2x+)的
226(i)把函数y=sinx的图像向左平移图像;
(iv)把得到的图像向上平移综上得到y=
51?5个单位长度,得到函数y=sin(2x+)+的图像。 4264312
cosx+sinxcosx+1的图像。
22历年高考综合题
2一,选择题
1.(08全国一6)y?(sinx?cosx)?1是 ( ) A.最小正周期为2π的偶函数 C.最小正周期为π的偶函数
B.最小正周期为2π的奇函数 D.最小正周期为π的奇函数
2.(08全国一9)为得到函数y?cos?x???π??的图象,只需将函数y?sinx的图像( ) 3?π个长度单位 65πC.向左平移个长度单位
6A.向左平移
π个长度单位 65πD.向右平移个长度单位
6B.向右平移
3.(08全国二1)若sin??0且tan??0是,则?是 ( ) A.第一象限角
B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角