发布时间 : 星期五 文章高考数学总复习(人教A版)配套教案：选修4-4 坐标系与参数方程 第一讲 坐标系更新完毕开始阅读
1
ρρsin θ＝4，② 21
1π
ρρ2sin(－θ)＝4，③ 23
1π
②×③得：ρ2ρ1ρ2sin θsin(－θ)＝16，④
43由①得ρ1ρ2＝
32
代入④得 3
23π
ρ2＝(0<θ<)，即为所求极坐标方程．
π3
sin θsin?－θ?
31
跟踪训练3 (1) π??sin?6－θ?
解析 如图，设P(ρ，θ)为直线上任一点， |OM|ρ
在△OPM中，＝，
π5?sin??6－θ?sin 6π∴
2ρ11＝.∴ρ＝，即f(θ)＝. π1ππ???sin?sin?sin??6－θ?2?6－θ??6－θ?
(2)ρ＝2cos θ
π3
θ－?＝－中令θ＝0，得ρ＝1， 解析 在ρsin??3?2所以圆C的圆心坐标为(1,0)． π
2，?， 因为圆C经过点P?4??所以圆C的半径PC＝
π?2?2＋12－2×1×2cos ＝1，
4
于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 练出高分 A组 π1，－? 1.?2??
解析 由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程π
1，－?. 为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为?2??2．ρcos θ＝1
解析 过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x＝1，其极坐标方程为ρcos θ＝1.
1??x′＝4x3.? ??y′＝y
22??x′＝λx?λ>0?，2y′2?μy?解析 设此伸缩变换为?代入x′＋＝1，得(λx)＋＝1，即16λ2x2
1616?y′＝μy?λ>0??
＋μ2x2＝16.
2
??16λ＝1?λ>0?，
与x＋y＝16比较得?2
?μ＝1?μ>0?，?
2
2
11???λ＝4，?x′＝4x，
故?即所求变换为? ???μ＝1，?y′＝y.4.3
π
2，?化为平面直角坐标系中的点为(1，3)；极坐标系中的圆ρ＝解析 极坐标系中的点??3?2cos θ化为平面直角坐标系中的一般方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，其圆心为(1,0)． ∴所求两点间的距离为?1－1?2＋?3－0?2＝3. 5．(－33，－3)
解析 点M的直角坐标为x＝ρcos θ＝6cos
1111
π＝33，y＝ρsin θ＝6sin π＝－3.即M(33，66
－3)，所以它关于y轴对称的点为(－33，－3)． 6．ρsin θ＝2
解析 直线ρcos θ＝2的直角坐标方程为x＝2， π
直线θ＝的直角坐标方程为y＝x，
4所以所求的直线方程为y＝2. 其极坐标方程为ρsin θ＝2. 7．(2aπ，) 24
ππ2a解析 两式相除得tan θ＝1?θ＝?ρ＝asin ＝. 4428．相离
解析 直线的直角坐标方程为x－y＋1＝0，圆的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心为C(1,0)，半径为r＝1，圆心到直线的距离d＝9.3
1
解析 直线2ρcos θ＝1可化为2x＝1，即x＝；
2
2
＝2>1.故直线与圆相离． 2圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcos θ， 化为直角坐标方程是x2＋y2＝2x.
133将x＝代入x2＋y2＝2x得y2＝，∴y＝±.
242∴弦长为2×10．23
解析 将射线与曲线C1的方程联立，得 ππ???θ＝3，?θ＝3，?解得? ???ρ＝4sin θ，?ρ＝23，π故点A的极坐标为(23，)，
3ππ???θ＝3，?θ＝3，同理由?得?
???ρ＝8sin θ，?ρ＝43，π
43，?， 可得点B的极坐标为?3??所以|AB|＝43－23＝23. B组 1．－8或2
解析 将极坐标方程化为直角坐标方程， 得圆的方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1， 直线的方程为3x＋4y＋a＝0.
由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1， |3×1＋4×0＋a|
即有＝1，
32＋42解得a＝－8或a＝2. 故a的值为－8或2. 2．ρcos θ＝3
解析 由ρ＝6cos θ得，ρ2＝6ρcos θ， 又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，∴x2＋y2＝6x， 即(x－3)2＋y2＝9，圆心为(3,0)， 故所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝3. 3．23
π
解析 由极坐标系与直角坐标系的互化关系可知曲线ρ＝4cos(θ－)对应的直角坐标方程为
3
3
＝3. 2
π
x2＋y2－2x－23y＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝4，直线ρsin(θ＋)＝1对应的直角坐标方程为
6x＋3y－2＝0，所以两交点间的距离即为直线被圆截得的弦长的大小，由垂径定理可求得弦长为23，即两交点之间的距离为23. 4．18
解析 ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ， ∴x2＋y2－12y＝0，即x2＋(y－6)2＝36. 又∵ρ＝12cos??θ－π6??， ∴ρ2＝12ρ??cos θcos π6＋sin θsin π6??， ∴x2＋y2－63x－6y＝0， ∴(x－33)2＋(y－3)2＝36， ∴|PQ|max＝6＋6＋?33?2＋32＝18. 5．ρ＝6cos?π?θ－6??
解析 如图，设圆上任一点为P(ρ，θ)， 则|OP|＝ρ，∠POA＝θ－π
6，
|OA|＝2×3＝6， 在Rt△OAP中， |OP|＝|OA|×cos∠POA， ∴ρ＝6cos?π?θ－6??
. ∴圆的极坐标方程为ρ＝6cos??θ－π
6??. 6．2
解析 由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ， 即曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0， 由θ＝π6(ρ∈R)得，曲线C3
2的直角坐标方程为y＝3x.
把y＝
33
x代入x2＋y2－4y＝0， 得x2＋13x2－433x＝0，即43x2－433x＝0，
解得x1＝0，x2＝3，∴y1＝0，y2＝1. ∴|MN|＝?3?2＋1＝2.即线段MN的长为2.