发布时间 : 星期日 文章（江苏专版）2019版高考数学一轮复习第二十二章选修4系列22.2坐标系与参数方程讲义更新完毕开始阅读
§22.2 坐标系与参数方程
五年高考
考点一 极坐标方程和直角坐标方程的互化
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1.(2017北京理,11,5分)在极坐标系中,点A在圆ρ-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0上,点P的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为 . 答案 1
2.(2017天津理,11,5分)在极坐标系中,直线4ρcos为 . 答案 2
+1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数
3.(2015北京,11,5分)在极坐标系中,点答案 1
到直线ρ(cos θ+sin θ)=6的距离为 .
4.(2015重庆,15,5分)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴
建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρcos 2θ=4为 . 答案 (2,π)
2
,则直线l与曲线C的交点的极坐标
5.(2015广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的极坐标方程为2ρsin=,点A的极坐标
为A,则点A到直线l的距离为 .
答案
6.(2014天津,13,5分)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sin θ和直线ρsin θ=a相交于A,B两点.若△AOB是等边三角形,则a的值为 . 答案 3
7.(2014重庆,15,5分)已知直线l的参数方程为
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(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴
建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsinθ-4cos θ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),则直线l与曲线C的公共点的极径ρ= . 答案
8.(2016课标全国Ⅰ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.
(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极
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(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;
(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.
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解析 (1)消去参数t得到C1的普通方程:x+(y-1)=a.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.(2分)
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将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ-2ρsin θ+1-a=0.(4分) (2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组
(6分)
若ρ≠0,由方程组得16cosθ-8sin θcos θ+1-a=0,(8分)
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由已知tan θ=2,可得16cosθ-8sin θcos θ=0,从而1-a=0, 解得a=-1(舍去)或a=1.
a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上. 所以a=1.(10分)
9.(2015江苏,21C,10分)[选修4—4:坐标系与参数方程]
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已知圆C的极坐标方程为ρ+2
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ρsin-4=0,求圆C的半径.
解析 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,极轴为x轴的正半轴,建立直角坐标系xOy.
圆C的极坐标方程为ρ+2
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ρ-4=0,
化简,得ρ+2ρsin θ-2ρcos θ-4=0.
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则圆C的直角坐标方程为x+y-2x+2y-4=0,
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即(x-1)+(y+1)=6, 所以圆C的半径为
.
10.(2015课标Ⅰ,23,10分)(选修4—4:坐标系与参数方程)
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在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)+(y-2)=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C1,C2的极坐标方程;
(2)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.
解析 (1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以C1的极坐标方程为ρcos θ=-2,C2的极坐标方程为ρ-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.(5分)
(2)将θ=代入ρ-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得ρ-3|MN|=
.
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ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=,故ρ1-ρ2=,即
由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为.(10分)
11.(2015湖南,16(2),12分)(选修4—4:坐标系与参数方程)
已知直线l:(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方
程为ρ=2cos θ.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;
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(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|·|MB|的值.
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解析 (1)ρ=2cos θ等价于ρ=2ρcos θ.①
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将ρ=x+y,ρcos θ=x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x+y-2x=0.②
(2)将代入②,得t+5
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t+18=0.设这个方程的两个实根分别为t1,t2,则由参数t的几何意义即
知,|MA|·|MB|=|t1t2|=18.
12.(2014课标Ⅱ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cos
θ,θ∈.
(1)求C的参数方程;
(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=
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x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.
解析 (1)C的普通方程为(x-1)+y=1(0≤y≤1).
可得C的参数方程为(t为参数,0≤t≤π).
(2)设D(1+cos t,sin t).由(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同,tan t=
,t=.
故D的直角坐标为,即.
教师用书专用(13—20)
13.(2014安徽改编,4,5分)以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系
中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是l被圆C截得的弦长为 . 答案 2
(t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=4cos θ,则直线
14.(2014广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为ρsinθ=cos θ和ρsin θ=1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1和C2交点的直角坐标为 . 答案 (1,1)
15.(2013安徽理改编,7,5分)在极坐标系中,圆ρ=2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为 . 答案 θ=(ρ∈R)和ρcos θ=2
16.(2013湖北理,16,5分)(选修4—4:坐标系与参数方程)
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在直角坐标系xOy中,椭圆C的参数方程为(φ为参数,a>b>0),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相
同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l与圆O的极坐标方程分别为
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ρsin=m(m为非零常数)与ρ=b.若直线l经过椭圆C的焦点,且与圆O相切,则椭圆C的离心率
为 .
答案
17.(2013北京理,9,5分)在极坐标系中,点答案 1
到直线ρsin θ=2的距离等于 .
18.(2013江西理,15,5分)(坐标系与参数方程选做题)设曲线C的参数方程为(t为参数),若以直角坐标
系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为 .
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答案 ρcosθ=sin θ
19.(2014辽宁,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程
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将圆x+y=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C的参数方程;
(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
解析 (1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上点(x,y),依题意,得
由+=1得x+
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=1,即曲线C的方程为x+=1.
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故C的参数方程为(t为参数).
(2)由解得或
不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,所求直线斜率为k=,于是所求直线方程为y-1=,
化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3,
即ρ=.
20.(2013辽宁理,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sin
θ,ρcos=2.
(1)求C1与C2交点的极坐标;
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