发布时间 : 星期二 文章同济第六版《高等数学》教案WORD版-第07章空间解析几何与向量代数更新完毕开始阅读
高等数学教案
§7 空间解析几乎与向量代数
解之得 z
14
所以
所求的点为 M (0, 0,
14
)
9
例 6
9
已知两点 A(4 0 5)和 B(7 1 3)
(7, 1, 3) (4, 0, 5) (3, 1,
14 求与 AB 方向相同的单位向量 e 2)
解因为AB
|AB | 32 12 ( 2)2
所以e
AB 1 (3, 1, 2)
|AB |
14
2． 方向角与方向余弦 当把两个非零向量
a 与 b 的起点放到同一点时
两个向量之间的不超过 的夹角称为向量
^
^
与 b 的夹角
记作 (a, b) 或 (b, a) 如果向量 a 与 b 中有一个是零向量
规定它们的夹角可以在 与 之间任意取值
类似地 可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角
非零向量 r 与三条坐标轴的夹角
、 、 称为向量 r 的方向角
向量的方向余弦
设 r (x y z) 则
x |r|cos y |r|cos z |r|cos
cos 、 cos 、 cos 称为向量 r 的方向余弦
cos
x
cos
y
cos
z
|r |
|r |
1
|r |
从而
(cos , cos , cos )
r er
|r |
上式表明
以向量 r 的方向余弦为坐标的向量就是与
r 同方向的单位向量
e r 因此
2 2
2
cos cos cos 1
例 3 设已知两点 A (2, 2, 2) )和 B (1, 3, 0) 计算向量 AB 的模、方向余弦和方向角
解
AB (1 2, 3 2, 0 2 ) ( 1,1, 2)
|AB| ( 1)2 12 ( 2)2 2
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a
0
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§7 空间解析几乎与向量代数
cos
1
cos 2
3
1
cos 2
3
4
2 2
2 3
3．向量在轴上的投影
设点 O 及单位向量 e 确定 u 轴 任给向量 r 作 OM
r
再过点 M 作与 u 轴垂直的平面交 u 轴于点 M (点 M 叫作点 M 在 u
设 OMe 则数 称为向量 r 在 u 轴
轴上的投影 ) 则向量 OM 称为向量 r 在 u 轴上的分向量 上的投影 记作 Prjur 或 (r )u
按此定义 投影的性质
性质 1 (a)u |a|cos 性质 2 (a b)u (a)u
向量 a 在直角坐标系 Oxyz 中的坐标 ax
ay az 就是 a 在三条坐标轴上的投影
即
ax Prj xa ay Prjya az Prjza
(即 Prju a |a|cos ) 其中 为向量与 u 轴的夹角
(b)u (即 Prju( a b) Prju a Prj ub)
性质 3 ( a)u (a)u (即 Prj u( a) Prj ua)
§7 2 数量积
向量积
一、两向量的数量积
数量积的物理背景 : 设一物体在常力
F 作用下沿直线从点 M1 移动到点 M 2 以 s 表示位移
M 1M 2 由物理学知道
力 F 所作的功为
W |F | |s| cos
为 F 与 s 的夹角
数量积 对于两个向量 a 和 b 它们的模
|a |、 |b| 及它们的夹角
的
a 和 b 的数量积 记作 a b 即
a·b |a| |b| cos
数量积与投影
由于 |b| cos |b|cos(a ^ b) 当 a 0 时 |b| cos(a ^ b) 是向量
于是 a·b |a| Prj ab
同理 当 b 0 时 a·b |b| Prj ba
其中
余弦的乘积称为向量
b 在向量 a 的方向上的投影
数量积的性质
(1) a·a |a | 2
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§7 空间解析几乎与向量代数
(2) 对于两个非零向量 a、 b 如果 a·b 0 则 a b 如果认为零向量与任何向量都垂直 数量积的运算律
(1) 交换律 a·b b·a (2) 分配律 (a b) c a c b c (3) ( a) ·b a·( b)
( a) ·( b)
(a·b)
反之 如果 a b 则 a·b 0
则 a b
a·b 0
(a·b) 、 为数
(2) 的证明
分配律 (a b) c a c b c 的证明
因为当 c 0 时 当 c 0 时
有
上式显然成立
(a b) c |c|Prjc(a b)
|c|(Prj ca Prjcb) |c|Prjca |c|Prjcb a c b c
例 1 试用向量证明三角形的余弦定理 证 设在
ABC 中 ∠ BCA
(图 7 24) BC| a
CA | b |AB | c
要证
c 2 a 2 b 2 2 a b cos
记 CB a CA b AB c 则有
c a b
|c|2 c c (a b)(a b) a a b c 2 a 2 b 2 2 a b cos
b 2a b |a|2 |b|2 2|a||b|cos(a ^b)
从而 即
数量积的坐标表示
设 a (ax ay az ) b (bx by bz ) 则
a·b axbx ayby azbz
a·b ( ax i ay j az k) ·(bx i by j bz k)
ax bx i i· ax by i j· ax bz i k· ay bx j ·i ay by j ·j ay bz
j·k
提示 按数量积的运算规律可得
az bx k·i az by k·j az bz k·k ax bx ay by
设
(a ^ b)
az bz
两向量夹角的余弦的坐标表示
则当 a 0、 b 0 时 有
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cos
a b
axb x ayby azbz
a x2 a2y az2 b x2 b 2y bz2
|a ||b|
提示 a·b |a||b|cos
例 2 解
已知三点 M (1 1 1)、A (2 2 1)和 B(2 1 2) 求 AMB
从 M 到 A 的向量记为 a a {1
从 M 到 B 的向量记为 b 则 AMB 就是向量 a 与 b 的夹角
1 0} b
{101}
因为
a b 1 1 |a | |b|
1 0 0 1 1
2 2
12 12 02 12 02 12
所以
cos AMB
a b 1 |a ||b| 2 2
1 2
从而
AMB
3
例 3．设液体流过平面 S 上面积为 A 的一个区域
液体在这区域上各点处的流速均为（常
向量 v 设 n 为垂直于 S 的单位向量（图 的液体的质量 P(液体的密度为 ρ)
7-25( a)） 计算单位时间内经过这区域流向
n 所指一方
解 单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为
v 与 n 的夹角 这柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是
A、斜高为 | v |的斜柱体 ( 图 7-25( b))
所以这柱体的高为 | v | cos 体积为
A| v | cosA v n· P Av n·
从而 单位时间内经过这区域流向 n 所指一方的液体的质量为
二、两向量的向量积
在研究物体转动问题时
不但要考虑这物体所受的力 还要分析这些力所产生的力矩
设 O 为一根杠杆 L 的支点 有一个力 F 作用于这杠杆上
P 点处 F 与 OP 的夹角为
由力学规定
力 F 对支点 O 的力矩是一向量 M 它的模
|M | |OP ||F |sin
M 的指向是的按右手规则从
OP 以不超过 的角转向 F
而 M 的方向垂直于 OP 与 F 所决定的平面 来确定的
向量积 设向量 c 是由两个向量 a 与 b 按下列方式定出 c 的模 |c| |a||b|sin
其中
为 a 与 b
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