发布时间 : 星期六 文章电磁场与电磁波课后习题及答案三章习题解答分析更新完毕开始阅读
三章习题解答
3.1 真空中半径为a的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q和?q，试计算球赤道平面上电通密度的通量?(如题3.1图所示)。
解 由点电荷q和?q共同产生的电通密度为
q 赤道平面 D?a qR?R?[3?3]? 4?R?R?err?ez(z?a)qerr?ez(z?a){2?} 4?[r?(z?a)2]32[r2?(z?a)2]32z?0则球赤道平面上电通密度的通量
???DdS??DezSSdS?
?q 题3.1 图
q(?a)a[?]2?rdr? 22322232?4?0(r?a)(r?a)aqa(r2?a2)12a?(01?1)q??0.293q 23.2 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为ra的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为?Ze的电子云，在球心有一正电荷Ze（Z是原子序数，e是质子电荷量），通过实验得到球体内的电通量密度表达式为D0?erZe?1r??2?3?，试证明之。 4??rra?解 位于球心的正电荷Ze球体内产生的电通量密度为 D1?erZe 24?rZe3Ze????? 原子内电子云的电荷体密度为
4?ra334?ra3b ?0 c a 题3. 3图(a)
面半径分别为a和b，轴线相距为c(c?b?a)，如题3.3图(a)所示。求空间各部分的电场。
解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为a的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为??0的两种电荷分布，这样在半径为b的整个圆柱体内具有体密度为?0的均匀电荷分布，而在半径为a的整个圆柱体内则具有体密度为??0的均匀电荷分布，如题3.3图(b)所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。
在r?b区域中，由高斯定律?EdS?S?4?r33Zer??e 电子云在原子内产生的电通量密度则为 D2?err4?r24?ra3Ze?1r?故原子内总的电通量密度为 D?D1?D2?er?2?3?
4??rra?33.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为?0Cm, 两圆柱
q?0，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生
?b2?0?0b2r??a2?0?0a2r???er???? E1 的电场分别为 E1?er22??2??0r2?0r2??0r2?0rb b c ?0 a ＝ ?0 c a ＋
b ?? 0a c 题3. 3图(b)
?b2ra2r???(2?2) 点P处总的电场为 E?E1?E12?0rr?在r?b且r??a区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为
?r2??r??a2??a2r???er?E2?er??? E2
2??0r2?02??0r?2?0r?2?0a2r???(r?2) 点P处总的电场为 E?E2?E22?0r?在r??a的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为
?r2?0?0r??r?2?0?r???er?E3?er???0 E32??0r2?02??0r?2?0?0?0??E?E?E?(r?r)?c 点P处总的电场为332?02?03.4 半径为a的球中充满密度?(r)的体电荷，已知电位移分布为
?r3?Ar2?Dr??a5?Aa4??r2(r?a)(r?a) 其中A为常数，试求电荷密度?(r)。
解：由?D??，有 ?(r)??D?故在r?a区域 ?(r)??01d2(rDr) 2rdr1d23[r(r?Ar2)]??0(5r2?4Ar) 2rdr1d2(a5?Aa4)在r?a区域 ?(r)??02[r]?0 2rdrr43.5 一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q为的体
电荷，球壳上又另充有电荷量Q。已知球内部的电场为E?er(ra)，设球内介质为真空。计
算：（1） 球内的电荷分布；（2）球壳外表面的电荷面密度。
解 （1） 由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为
1d21d2r4r3???0?E??0[2(rE)]??0[2(r4)]?6?04
rdrrdraar322（2）球体内的总电量Q为 Q???d???6?044?rdr?4??0a
a?0a球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷?Q，而且在球壳外表面上还要感应电荷Q，所以球壳外表面上的总电荷为2Q，故球壳外表面上的电荷面密度为 ??2Q?2?0 24?a 3.6 两个无限长的同轴圆柱半径分别为r?a和r?b(b?a)，圆柱表面分别带有密度为
?1和?2的面电荷。（1）计算各处的电位移D0；（2）欲使r?b区域内D0?0，则?1和?2应具
有什么关系？
解 （1）由高斯定理
?DS0dS?q，当r?a时，有 D?0
01a?1 ra?1?b?2 r当a?r?b时，有 2?rD02?2?a?1 ，则 D02?er当b?r??时，有 2?rD03?2?a?1?2?b?2 ，则 D03?er （2）令 D03?er?ba?1?b?2?0，则得到 1??
?2ar3.7 计算在电场强度E?exy?eyx的电场中把带电量为?2?C的点电荷从点P1(2,1,?1)移到点P（1）沿曲线x?2y2；（2）沿连接该两点的直线。 2(8,2,?1)时电场所做的功：
解 （1）W?Fdl?qEdl?qExdx?Eydy?
CCC???2222q?ydx?xdy?q?yd(2y)?2ydy?q?6y2dy?14q??28?10?6(J)
C11（2）连接点P1(2,1,?1)到点P2(8,2,?1)直线方程为
x?2x?8? 即 x?6y?4?0 y?1y?222?6故W?qydx?xdy?qyd(6y?4)?(6y?4)dy?q(12y?4)dy?14q??28?10(J)
C1???1 点的电位?；（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场E，并用E????核对。
解 （1）建立如题3.8图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点P的
电位为
3.8 长度为L的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为?l0。（1）计算线电荷平分面上任意
z L2L2?(r,0)? P ? ?L2??l0dz?4??0r?z?22?
L2?l0 o r
?l0ln(z??r2?z?2)4??0?
?L22r2?(L2)?L2?l0ln?
224??0r?(L2)?L22r2?(L2)?L2?l0 ln2??0r?L2 题3.8图
（2）根据对称性，可得两个对称线电荷元?l0dz?在点P的电场为
dE?erdEr?er?l0dz?2??0r2?z?2cos??er?l0rdz?2??0(r2?z?2)32L20
故长为L的线电荷在点P的电场为
L2E??dE?er?2??0?l0rdz?2232?(r?z)0?z?)?erl0(2??0rr2?z?2?er?l0L
4??0rr2?(L2)2由E????求E，有
2?l0?L2?r2?(L2)??? E????????ln2??0?r??er?l0d?2lnL2?r2?(L2)?lnr??
???2??0dr?Lr?(L2)22???????l0?r1?e?l0?er???r?4??0r2??0??L2?r2?(L2)2?r2?(L2)2r???????
rP?l3.9 已知无限长均匀线电荷?l的电场E?er，试用定义式?(r)??Edl求其电
2??0rr位函数。其中rP为电位参考点。
rPrP解
?(r)??Edl??rr?l??lrdr?llrn?r2??0r2??02??P0rP lnr由于是无限长的线电荷，不能将rP选为无穷远点。
3.10 一点电荷?q位于(?a,0,0)，另一点电荷?2q位于(a,0,0)，求空间的零电位面。 解 两个点电荷?q和?2q在空间产生的电位
?(x,y,z)?令?(x,y,z)?0，则有
14??0(x?a)?y?z(x?a)?y?z12??0
222222(x?a)?y?z(x?a)?y?z[q222?2q222]
即 4[(x?a)2?y2?z2]?(x?a)2?y2?z2
524a)?y2?z2?(a)2 3354由此可见，零电位面是一个以点(?a,0,0)为球心、a为半径的球面。
33Ze1r23(??) 3.11 证明习题3.2的电位表达式为 ?(r)?4??0r2ra2raZe 解 位于球心的正电荷Ze在原子外产生的电通量密度为 D1?er4?r2故得 (x?