发布时间 : 星期日 文章复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案[1]更新完毕开始阅读
得分 二．选择题（每小题3分，共计15分）
22x?y1．是解析函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)的实部，则（ A ）；
（A）（C）
f?(z)?2(x?iy)； （B）f?(z)?2(x?iy)；
f?(z)?2(y?ix)； （D）f?(z)?2(y?ix).
，则z?2，如果函数f(z)?（ A ）
2．C是正向圆周
?Cf(z)dz?0．
.
sinz1（A） ； （B）
zz?13．如果级数
1； （C）
(z?3)21； （D）
(z?1)2?cn?1?nzn在z?2i点收敛，则级数在( C )
??2点条件收敛 ； （B）z??2i点绝对收敛；
（C）z?1?i点绝对收敛； （D）z?1?2i点一定发散．
（A）z４．下列结论正确的是( C )
（A）如果函数(B) 如果
f(z)在z0点可导，则f(z)在z0点一定解析；
?Cf(z)dz?0,其中C复平面内正向封闭曲线, 则f(z)在C所围成的区域内一定解析；
（C）函数
f(z)在z0点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为z?z0的幂级数，
而且展开式是唯一的；
（D）函数
f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域内解析的充分必要条件是u(x,y)、v(x,y)在该区域
内均为调和函数．
5．下列结论不正确的是（ C ）． （A）
lnz是复平面上的多值函数； （B）cosz是无界函数；
zsinz 是复平面上的有界函数；（D）e是周期函数．
（C） 得分 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）
（1）求
a,b,c,d使f(z)?x2?axy?by2?i(cx2?dxy?y2)是解析函数，
f(z)解析，由C-R条件
解：因为
?u?v?u?v??? ?x?y?y?x2x?ay?dx?2yax?2by??2cx?dy,
a?2,d?2,，a??2c,2b??d,c??1,b??1,
给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
（2）．C?1dz．其中C是正向圆周z2z(z?1)f(z)??2；
解：本题可以用柯西公式\\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程 因为函数
1在复平面内只有两个奇点z1?0,z2?1，分别以z1,z2为圆心画互不2(z?1)z不
包
含
的
小
圆
相交互
c1,c2且位于c内
1?C(z?1)2zdz??C111(z?1)2zdz??dz
2C2(z?1)z11?2?i()??2?izz?1(z?1)213z?0
z?0zedz，其中C是正向圆周z?2； （3）．计算?C(1?z)解：设
f(z)在有限复平面内所有奇点均在：z?2内，由留数定理
?z?2f(z)dz??2?iRes[f(z),?]?2?ic?1 -----（5分）
12z1?z??13zzeze111111????z2(1?????)(1?????)
23231(1?z)z2!z3!zzzz1?z111111??(z?z????)(1??2?3??)
22!3!z4!zzzz2811c?1??(1?1??)??
32!3!?
z?28f(z)dz??2?i
3（4）函数
(z2?1)(z?2)3f(z)?(sin?z)3在扩充复平面上有什么类型的奇点，如果有极点，请指出它的级.
f(z)的奇点为z?k,k?0,?1,?2,?3,?，?
3z?k,k?0,?1,?2,?3,?为（sin?z）?0的三级零点，
z??1,为f(z)的二级极点，z??2是f(z)的可去奇点， z?0,2,?3,?4?，为f(z)的三级极点； ?为f(z)的非孤立奇点。
给出全部奇点给5分。其他酌情给分。 得分 四、（本题14分）将函数
f(z)?1在以下区域内展开成罗朗级数；
z2(z?1)（1）
0?z?1?1，（2）0?z?1，（3）1?z??
（1）0?（2）0?z?1，（3）1?z?? z?1?1，
解：（1）当0?z?1?1
111f(z)?2?[]?
z(z?1)(z?1)(1?(z?1)??1nn?1??[]?[(z?1)]?n(z?1)而 ??(1?(z?1)n?0n?0f(z)??n(z?1)n?2 --------6分
n?0?（2）当0?z?1
?f(z)?11z2(z?1)=
z2?(?1)nzn
n?0???(?1)zn?2 -----10分
n?03）当1?z??
f(z)?11z2(z?1)?z3(1?1z)
??f(z)?1z3(?1)n???(?1)n1n?3 --------14n?0zn?0z
分
（