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江苏省南菁高级中学2012-2013学年度第二学期高二暑假作业
文科--函数与导数Ⅰ
一、填空题 1、函数f(x)?1nx?2的定义域是___{x|x??1或x?2}______________. x?12、函数f(x)?(x?1)lnx的零点个数 1 3、曲线f(x)?f?(1)x11e?f(0)x?x2在点(1,f(1))处的切线方程为_y?ex?_______. e22m
4、若关于x的方程log1x＝在区间(0,1)上有解，则实数m的取值范围 （0，1）
1－m2
x
??2＋1，x<1，
5、已知函数f(x)＝?2若f[f(0)]＝4a，则实数a等于 2
?x＋ax，x≥1，?
6、关于x的不等式(2ax?1)lnx?0对任意x?(0,??)恒成立,则实数a的值为__
1___. 27、已知f(x)在定义在R上的奇函数，当x≥0时，值域为[－2,3]，则y＝f(x)(x∈R)值域[－3,3]
2
??ax＋1，x≥0
8、函数f(x)＝?2在(－∞，＋∞)上单调，则a取值范围(－∞，－2]∪(1，2] ax
??a－1?e，x<0?
9、函数y＝ax1(a>0，且a≠1)的图像恒过定点A，若点A在一次函数y＝mx＋n的图像上，
－
11
其中m，n>0，则＋的最小值为_4_______．
mn
10、定义在R上的函数f(x),对任意x∈R都有f(x?2)?f(x),当x?(?2,0) 时,f(x)?4x,
则f(2013)?__11、若f(x)??1______. 412（?1，??）上是减函数,则b的取值范围是 （??，?1] x?bln(x?2)在
2F?n，2?
12、定义：F(x，y)＝yx(x>0，y>0)，已知数列{an}满足：an＝(n∈N*)，若对任意正整
F?2，n?数n，都有an≥ak(k∈N*)成立，则ak的值为__8/9______．
1
13、已知函数f(x)满足f(x＋1)＝，且f(x)是偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若在区间
f?x?1
[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－kx－k有四个零点，则实数k的取值范围 (0，]
4
?2，x?[0，1]
14、若函数f(x)=?则使f[f(x)]=2成立的实数x的集合为_{x|0?x?1,或
?x，x?[0，1].
x=2}_______.
二、解答题
2
15、已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且x＞0时，f(x)＝x－2x＋3，试求f(x)在R上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间． 解 ∵f(x)的图象关于原点对称，
2
∴f(－x)＝－f(x)，又当x＞0时，f(x)＝x－2x＋3，
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∴当x＜0时，f(x)＝－x－2x－3.当x＝0时，f(x)＝0.
2
x－2x＋3，x＞0.??
∴函数解析式为：f(x)＝?0，x＝0，
??－x2－2x－3，x＜0.
2
作出函数的图象如图．根据图象可以得函数的增区间为：
(－∞，－1)，(1，＋∞)．
函数的减区间为：(－1,0)，(0,1)．
16、设函数f(x)?x(e?1)?ax,a?R,其中e为自然对数的底数.[来源:Z,xx,k.Com]
x21,求f(x)的单调递增区间; 2(Ⅱ)若当x?0时,f(x)?0恒成立,求实数a的取值范围.
(Ⅰ)若a?【答案】
a
17、已知函数f(x)＝－x，(a＞0，a≠1)．
a＋a1??1
(1)证明函数y＝f(x)的图象关于点?，－?对称；
2??2(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．
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1??1
(1)证明 函数f(x)的定义域为R，任意一点(x，y)关于点?，－?对称的点的坐标为(1－x，
2??2－1－y)．
a
由已知，f(x)＝－x，则－1－y＝－1＋x＝－x.f(1－x)＝－1－x＝－a＋aa＋aa＋aa＋a
aa
x＋aa
＝－＝－x，∴－1－y＝f(1－x)． x
a＋a·aa＋a
a·a
x
aaa
x
a
x
1??1
即函数y＝f(x)的图象关于点?，－?对称．
2??2(2)解 由(1)知有－1－f(x)＝f(1－x)．
即f(x)＋f(1－x)＝－1.
∴f(－2)＋f(3)＝f(－1)＋f(2)＝f(0)＋f(1)＝－1， ∴f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.
18、函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)
＋f(x2)． (1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明；
(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
解 (1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数，令x1＝x2＝－1，有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0
令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，即f(－x)＝f(x)． 所以f(x)为偶函数．
(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3. 所以f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3即f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)① 因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以①等价于不等式组： ??3x＋1??2x－6?＞0，??3x＋1??2x－6?＜0，?或? ?3x＋1??2x－6?≤64，－?3x＋1??2x－6?≤64.??1??x＞3或x＜－3，
?7??－3≤x≤5，
1??－＜x＜3，
或?3??x∈R，
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所以3＜x≤5或－3≤x＜－3或－3＜x＜3.
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故x的取值范围为{x|－3≤x＜－3或－3＜x＜3或3＜x≤5}． 19、已知函数f(x)=m(x-1)2-2x+3+lnx ,m∈R.
(1)当m=0时,求函数f(x)的单调增区间;
(2)当m>0时,若曲线y=f(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线y=f(x)有且只有一个公共点,求实数m的值.
1－2x＋1
解(1)由题意知,f(x)=-2x+3+lnx,所以f′(x)=-2+= (x>0)
1
2
xx1
由f′(x)>0得x∈(0,) . 21
所以函数f(x)的单调增区间为(0,) 21
(2)由f′(x)=mx-m-2+,得f′(1)=-1,
x所以曲线y=f(x)在点P(1,1)处的切线l的方程为y=-x+2 由题意得,关于x的方程f(x)=-x+2有且只有一个解, 12
即关于x的方程m(x-1)-x+1+lnx=0有且只有一个解.
212
令g(x)=m(x-1)-x+1+lnx(x>0).
2
1mx－(m＋1)x＋1(x－1)(mx－1)
则g′(x)=m(x-1)-1+==(x>0)
2
xxx11①当0 mm11 所以函数g(x)在(0,1)为增函数,在(1,)上为减函数,在(,+∞)上为增函数. mm又g(1)=0,且当x→∞时,g(x)→∞,此时曲线y=g(x)与x轴有两个交点. 故0 ②当m=1时,g′(x)≥0,g(x)在(0,+∞)上为增函数,且g(1)=0,故m=1符合题意. 11 ③当m>1时,由g′(x)>0得0 mm11 所以函数g(x)在(0,) 为增函数,在(,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数. mm又g(1)=0,且当x→0时,g(x)→-∞,此时曲线y=g(x)与x轴有两个交点. 故m>1不合题意. 综上,实数m的值为m=1 函数与导数Ⅰ 第 4 页 共 5 页 1 20、在区间D上，如果函数f(x)为增函数，而函数xf(x)为减函数，则称函数f(x)为“弱增函数”，已知函数f(x)＝1－ 1 . 1＋x (1)判断函数f(x)在区间(0,1]上是否为“弱增函数”； 1 (2)设x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，证明：|f(x1)－f(x2)|＜2|x1－x2|； (3)当x∈[0,1]时，不等式1－ax≤围． 11?1－1?11＋x－1 ??＝·(1)解 显然f(x)在区间(0,1)上为增函数，因为xf(x)＝x·1＋x?x?1＋x1x ＝x· 1＋x?1＋x＋1? 11 ＝，所以xf(x)为减函数，因此f(x)是“弱增”函数． 1＋x＋1＋x(2)证明 1?|1＋x2－1＋x1|?1 －?＝|f(x1)－f(x2)|＝?＝ 1＋x2??1＋x1|1＋x11＋x2| 1 ≤1－bx恒成立，求实数a，b的取值范1＋x |x1－x2| . 1＋x1·1＋x2·?1＋x1＋1＋x2? 因为x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，所以1＋x1·1＋x2·(1＋x1＋1＋x2)＞2，所1 以|f(x1)－f(x2)|＜2|x1－x2|. (3)解 当x∈[0,1]时，不等式1－ax≤ 1 ≤1－bx恒成立．所以当x＝0时，1＋x 1a≥??xf?x?， 不等式显然成立，当x∈(0,1]时，等于?1 b≤??xf?x?21112 1－2≤xf(x)＜2，所以a≥2且b≤1－2. 1 恒成立由(1)知xf(x)为减函数， 函数与导数Ⅰ 第 5 页 共 5 页