发布时间 : 星期二 文章2019年山东省聊城市高考数学一模试卷（理科）含答案解析更新完毕开始阅读
点O到直线y=kx+m的距离d=，
==2，
==
=
=，
设
=p，则4k2=（1﹣4p）m2+4p，
于是，
由S△MON为定值，得为定值，
从而4p+1=0，解得p=﹣，此时，S△MON=1． 当直线MN不存在斜率时， 若k1k2=﹣，则|MN|=
，d=
，此时S△MON=1．
综上，存在常数p=﹣，当k1k2=p时，△MON的面积为定值．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积是否为定值的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式、椭圆性质的合理运用．
21．=exe=2.71828…（14分）（2019?聊城一模）已知函数f（x）（x2+a）（a是常数，是自然对数的底数），曲线y=f（x）与x轴相切． （Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）设方程f（x）=x2+x的所有根之和为S，且S∈（n，n+1），求整数n的值；
（Ⅲ）若关于x的不等式mf（x）+2x+2＜2ex在（﹣∞，0）内恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】（Ⅰ）设曲线y=f（x）于x轴的切点为（x0，0），则得a．
（Ⅱ）方程f（x）=x2+x可化为z=0或xex﹣x﹣1=0．而方程xex﹣x﹣1=0．的根就是函数g（x）=ex﹣﹣1的零点．求出g（x）=ex﹣﹣1的零点范围即可； （Ⅲ）不等式mf（x）+2x+2＜2ex可化为
=，设h（x）
，．解
只需h（x）＜0在（﹣∞，0）恒成立．分①当m≤1，②当m＞1讨论求出实数m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=（x2+2x+a）ex，x∈R， 设曲线y=f（x）于x轴的切点为（x0，0），则
．
即，解得a=0．
（Ⅱ）方程f（x）=x2+x可化为z=0或xex﹣x﹣1=0．
而方程xex﹣x﹣1=0．的根就是函数g（x）=ex﹣﹣1的零点． ∵∵
，∴g（x）在（0，+∞），（﹣∞，0）都递增． ，
．∴函数g（x）在（﹣∞，0）内有唯一零
点x1，x1∈（﹣，﹣1）． ∵
x2∈（，1）．．
∴方程f（x）=x2+x的所有根之和为S=0+x1+x2∈（﹣1，0）．
，∴函数g（x）在（0，+∞）内有唯一零点x2，
（Ⅲ）不等式mf（x）+2x+2＜2ex可化为设h（x）=
，∵
，
，由题意得h（x）＜0在（﹣∞，0）恒成立．
恒成立．
①当m≤1时，h′（x）＞0在（﹣∞，0）恒成立，∴h（x）在（﹣∞，0）为增函数，
又∵h（0）=0，∴当x＜0时，h（x）＜0，即h（x）＜0在（﹣∞，0）恒成立．
②当m＞1时，令h′（x）=0，得x=0或x=﹣lnm，在（﹣lnm，0）上h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（﹣lnm，0）为减函数，
又∵h（0）=0，∴当x∈（﹣lnm，0）时，h（x）＞0，不符合题意． 综上：实数m的取值范围（﹣∞，1]．
【点评】本题考查了导数的综合应用，函数与方程思想，恒成立中的参数问题，属于难题．