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《大学物理简明教程》习题解答
习题一
1-1 ｜?r｜与?r有无不同?和有无不同? 同?其不同在哪里?试举例说明．
?r?r2?r1；
??drdtdrdtdvdt和
dvdt有无不
解：（1）?r是位移的模，?r是位矢的模的增量，即?r?r2?r1，
drdtdrdsdt?v?dt（2）
drdt是速度的模，即.
只是速度在径向上的分量.
?drdrdr??r?r??dtdtdt rr?rr∵有（式中叫做单位矢），则dr式中dt就是速度径向上的分量，
∴
题1-1图
dvdtdrdr与dtdt不同如题
1-1图所示.
(3)表示加速度的模，即量.
??v?v?(?表轨道节线方向单位矢）∵有，所以
??dvdv?d????vdtdtdt??dva?dtdv，dt是加速度a在切向上的分
dv式中dt就是加速度的切向分量.
???d??dr?与(dtdt的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论)
1-2 设质点的运动方程为x=x(t)，y=y(t)，在计算质点的速度
和加速度时，有人先求出r＝
而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结
dr22x?y，然后根据v=dtd2r，及a＝dt2果，即
v=及a=
你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？
解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角
???r?xi?yj， 坐标系中，有
??drdx?dy??v??i?jdtdtdt??d2rd2x?d2y?a?2?2i?2jdtdtdt
22?dx??dy???????dt??dt?22?d2x??d2y???dt2?????dt2??????22故它们的模即为
?dx??dy?v?v?v???????dt??dt?2x2y2
而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作
drv?dtdrd2r与2其二，可能是将dtdtdr说明dt?d2x??d2y?22a?ax?ay???dt2?????dt2??????2d2ra?2dt
误作速度与加速度的模。在1-1题中已
d2r不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，dt2也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中的一部分
2?d2r?d??????a径?2?r??dtdt??????。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢r?在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢r及速?v度的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。 1-3 一质点在xOy平面上运动，运动方程为
1x=3t+5, y=2t2+3t-4.
式中t以 s计，x,y以m计．(1)以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t=1 s 时刻和t＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t＝0 s时刻到t＝4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t＝4 s 时质点
的速度；(5)计算t＝0s 到t＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．
?1??r?(3t?5)i?(t2?3t?4)j2m 解：（1）
(2)将t?1,t?2代入上式即有
???r1?8i?0.5j m
???r2?11j?4jm
??????r?r2?r1?3j?4.5jm
??????(3)∵ r0?5j?4j,r4?17i?16j
?????????rr4?r012i?20jv????3i?5jm?s?1?t4?04∴
????drv??3i?(t?3)jm?s?1(4) dt
???v?3i?7j m?s?1 则 4??????v?3i?3j,v?3i?7j 4(5)∵ 0??????vv4?v04a????1jm?s?2?t44 ???dva??1jm?s?2dt(6)
这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。
1-4 在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示．当人以v0(m·s?1)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．
图1-4
解： 设人到船之间绳的长度为l，此时绳与水面成?角，由图可知
l2?h2?s2
将上式对时间t求导，得
2ldlds?2sdtdt
题1-4图
根据速度的定义，并注意到l,s是随t减少的， ∴ 即
v船??v绳??dlds?v0,v船??dtdt
vdsldll???v0?0dtsdtscos?
lv0(h2?s2)1/2v0v船??ss或
将v船再对t求导，即得船的加速度
dlds?ldv?v0s?lv船a?船?dt2dtv0?v02dtssl22(?s?)v02h2v0s??32ss
s1-5 质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为 a＝2+6x2，a的
单位为m?s?2，x的单位为 m. 质点在x＝0处，速度为10m?s?1,试求质点在任何坐标处的速度值． 解： ∵
2?d??adx?(2?6x)dx 分离变量：
12v?2x?2x3?c两边积分得 2
a?dvdvdxdv??vdtdxdtdx
由题知，x?0时，v0?10,∴c?50
3?1v?2x?x?25m?s∴
1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a＝4+3tm?s?2，开始
运动时，x＝5 m，v=0，求该质点在t＝10s 时的速度和位置．
dv?4?3t 解：∵ dt 分离变量，得 dv?(4?3t)dt
a?