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第九章 力系的平衡
力系的平衡是静力学的核心内容。本章由一般力系的简化结果得出一般力系平衡的几何条件及其解析表达形式——平衡方程，并由此导出各类特殊力系的独立平衡方程；运用平衡条件，求解各类物体系统的平衡问题，确定物体的受力状态或平衡位置。
§9.1 一般力系的平衡原理
广义地说，不改变物体运动状态的力系称为平衡力系，平衡力系所需满足的条件称为力系的平衡条件。刚体在平衡力系作用下既可能保持静止状态，也可能保持惯性运动状态(例如绕中心轴匀速转动)。因此，只有在静力学中，力系的平衡条件对同一刚体才是必要而又充分的。
9.1.1 一般力系的平衡条件
根据空间一般力系的简化结果，得到空间一般力系平衡的充分必要条件是，力系的主矢和对任一点的主矩均为零，即
FR?0 且 MO?0（9-1）
故一般力系平衡的几何条件是，力系简化的力矢多边形和力偶矩矢多边形同时封闭。
问题9-1 图(a)中三力构成三角形ABC，图(b)中四力构成平行四边形ABCD，问受力圆板平衡吗？
答 图(a)中，主矢FR?0，而主矩MA?0，圆板不平衡；
图(b)中，主矢FR?0，且主矩MO?0，圆板平衡。
思考9-1 所示力系各力分别沿正方体棱边作用且大小相等，试加一力使其平衡。
(a) (b)
问题9-1图 思考9-1图
如图8.30所示，以力系的简化中心O为原点，建立直角坐标系Oxyz，由式(9-1)分别向各坐标轴投影得
?Fx?0, ?Mx?0, ?Fy?0, ?My?0, ?Fz?0, ?Mz?0 (9-2)
方程组(9-2)称为空间一般力系平衡方程的基本形式。它表明，空间一般力系平衡的充分必要条件是，力系中各力在三个坐标轴上投影的代数和以及对三个坐标轴力矩的代数和同时等于零。一般说来，应用这组方程于单个平衡刚体，可求得相应空间一般力系平衡问题的6
个未知量。顺便指出，一般力系的平衡方程组还有四矩式(4个力矩方程，两个投影方程)、五矩式和六矩式，这些方程组的独立补充条件比较复杂，不过它们在求解已知的平衡问题时并不重要。
9.1.2 特殊力系的平衡方程
各种特殊力系的平衡方程都可以由方程组(9-2)导出，这只要从中去掉那些由各种特殊力系的几何性质所自动满足的方程就行了。
1 平面一般力系的平衡方程
图9.1所示平面一般力系(设各力线位于Oxy平面)，显然各力在z轴上的投影为零，即恒有?Fz?0，各力对x轴和y轴之力矩均为零，即恒
M?0?My?0有?x，。在平衡方程组(2-2)中去掉这三个已经自动满足的方程，便得到以下平衡方程。
图9.1 平面一般力系
?Fx?0, ?Fy?0, ?Mz?0 , (或 ?MO?0)
(2-3) ） （9-3（9-4） (2-4)
可以证明，与(9-3)式等价的平衡方程组还有二矩式
?0, ?MB?0?Fx?0, ?MA
其中，A，B两矩心连线不能与x轴相垂直。三矩式为
?MA?0, ?MB?0, ?MC?0
（9-5 ） (2-5)
其中A，B，C三矩心不能共线。
类似地，容易得到以下特殊力系的平衡方程。
2 空间汇交力系的平衡方程
4 空间力偶系的平衡方程
?F?Fx?0, ?Fy?0, ?Fz?0
（9-6） (2-6)
3 空间平行力系(力线平行于z轴)的平衡方程
z?0, ?Mx?0, ?My?0
（9-7） (2-7)
?Mx?0, ?My?0, ?Mz?0
（9-8 ） (2-8)
5 平面汇交力系(力线在xOy面内)的平衡方程
?Fx?0, ?Fy?0
（9-9） (2-9)
6 平面平行力系(力线在xOy面内，且平行x轴)的平衡方程
7 平面力偶系的平衡方程
需要指出的是，在研究给定的平衡力系时，各种力系平衡方程的形式可任意选用。因为平衡力系各力在任何方向的投影之和及对任何轴的力矩之和均为零，我们只要适当选取投影轴及力矩轴列出相应平衡方程，解出所求量便行了。注意选择投影轴和力矩轴时不能违反上述有关补充规定，以保证所列出的平衡方程互相独立。各种力系独立平衡方程的个数是判断相应平衡问题是否可解的重要依据，这在解题中常常用到。
问题9-2 图示(a)，(b)，(c)三个问题可解吗? ① 求图(a)中三绳张力； ② 求图(b)中四杆内力； ③ 求图(c)中七杆内力。
问题2-2图
?Fx?0, ?MO?0 （9-10） (2-10)
?M ?0（9-11） (2-11)
答 图(a)为平面汇交力系，有3个未知力，只有两个平衡方程，不可解；同理，图(b)和图(c)中均缺少一个方程，不可仅由静力平衡方程得解。还需在后续课程中考虑绳与杆的变形，建立补充方程联合求解。
思考9-2 指出下列各空间力系独立平衡方程数目。 ① 各力线均平行于某平面； ② 各力线均平行于某直线； ③ 各力线均相交于某直线； ④ 各力线分别汇交于某两点；
⑤ 一个平面任意力系加一个平行于此任意力系所在平面的平行力系。 下面讨论几个简单平衡问题，说明平衡条件的应用。
例9.1 图(a)所示水平横梁，A处为固定铰支座，B处为可动铰支座，试求支座A，B的约束力。
解 研究横梁，其受力如图(b)所示，其中E点处的集中力为三角形分布载荷的简化结果。
由?Fx?0，有
FAx?0
由?MA?0，有
3FB?2?2?1??1?12
故
由?Fy?01FB? (kN)4
，有
FAy?FB?2?故
32
FAy?13 (kN)4
图
例2.1图
例9.2 图示移动式起重机自重(不包括平衡锤重量)G?500kN，其重心O离右轨1.5m，悬臂最大长度为10m，最大起重量G1?250kN。欲使跑车满载或空载时 起重机均不致翻倒，求平衡锤的最小重量以及平衡锤到左轨的最大距离x。跑车自重可忽略不计。
解 研究整体，其受力如图所示，各力组成一平面平行力系。
M?0满载时，G1?250kN，由?B，有
G0?(x?3)?FA?3?G?1.5?G1?10
故
G0?(x?3)?1.5G?10G13
起重机不向右翻倒的条件是FA?0，即
FA?空载时，G1?0，由?故
MA?0G0?(x?3)?1.5G?10G1 (a)
，有
FB?3?G0?x?G?4.5
例9．2图
FB?起重机不向左边翻倒的条件是，FB?0，即
G0x?4.5G (b)
4.5G?G0x3
(a)?(b)，并将G?500kN, G1?250kN代入，得