发布时间 : 星期五 文章概率统计简明教程习题答案（工程代数 - 同济版）更新完毕开始阅读
y Dz 2 -2 0 2 x 图6.2 ?1?,f(x,y)??4??FZ?z??P?Z?z?0?x?2,0?y?2;0,其他. 设Z?X?Y，则Z的分布函数
?P?X?Y?z? ?Dzz??f?x,y?dxdy y 2 Dz 其中区域Dz???x,y?:x?y?z?，
当z??2时，积分区域见图6.2，此时
FZ?z????0dxdy?0
Dz当?2?z?0时，积分区域见Dz图6.3，
此时
1FZ?z????f?x,y?dxdy???dxdy4DzDz?1?区域Dz?的面积 411122???2?z???2?z?428?其中Dz?是区域Dz限在0?x?2,0?y?2中当0?z?2时，积分区域Dz见图6.4，此时
图6.3 -2 0 2 x y 2 z y 2 的那部分。
1FZ?z????f?x,y?dxdy???dxdy4DzDz?1??区域Dz?的面积42D 1?1???4???2?z??4?2?12?1??2?z?8其中Dz?是区域Dz限在0?x?2,0?y?2中
?
-2 0 2 x D 图6.4 z的那部分。
-2 0 2 x 图6.5
当z?2时，积分区域Dz见图6.5，此时
FZ?z????f?x,y?dxdy?1。
Dz综合有
0,1?2?z?0;?2?z?2,8 FZ?z??
121??2?z?,0?z?2;8z?2,1,Z的密度函数
z??2;1?2?z?0;?2?z?,41fZ?z??FZ??z?? ?2?z?, 0?z?2;
40,其他.13. 设?X,Y?的密度函数为f?x,y?，用函数f表达随机变量X?Y的密度函数。 解 设Z?X?Y,则Z的分布函数
FZ?z??P?Z?z??P?X?Y?z??对积分变量y作变换u?x?y，得到
z?xzx?y?z??f?x,y?dxdy??????dx?z?x??f?x,y?dxdy。
???f?x,y?dy??f?x,u?x?du
????z于是 FZ?z??Z?F?z?????????z???????f?x,u?x?dx?du???????f?x,u?x?dudx，交换积分变量x,u的次序得
从而，Z的密度函数为fZ?z??f?x,z?x?dx，
把X与Y的地位对换，同样可得到Z的密度函数的另一种形式fZ?z??
习题七解答
1. 设X的分布律为，
X -1 0 ?????f?z?y,y?dy。
1 21 2 1 概率 321 61 6112 1 4求（1）EX，（2）E(?X?1)，（3）E(X)，（4）DX。 解 由随机变量X的分布律，得 X -X+1 X2 -1 2 1 0 1 0 1 21 21 41 0 1 2 -1 4 P 所以
1 31 61 61 121 41111111??0????1??2? 362612431111112?????0??(?1)? E??X?1??2??136261243111111352???4? E?X??1??0????1
3646124243512972?(E(X2)?)?(?) D(X)?E(X)24372) E?X??(?1?
另外，也可根据数学期望的性质可得：
12E??X?1???E?X??1???1?
332.设随机变量X服从参数为????0?的泊松分布，且已知E??X?2??X?3???2，求?的值。
解
2?D?X???E?X????5E?X??6?2????5??4?0??2
解 X~B?10,0.4?
所以 E?X??10?0.4?4,D?X??10?0.4?0.6?2.4
2E??X?2??X?3???EX2?5X?6?EX2?5E?X??6?2
????3. 设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，试求X的数学期望EX2。
2??故 EX2?D?X???E?X???2.4?42?18.4
4. 国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X是一个随机变量，它在[2000，4000]（单位：吨）上服从均匀分布。若每售出一吨，可得外汇3万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费1万美元。问应组织多少货源，才能使平均收益最大？
解 设随机变量Y表示平均收益（单位：万元），进货量为a吨
x?a3X??a?X?Y= x?a3a则
2??E?Y?????4x?a?2000a400011dx??3adxa200020001?2a2?14000a?80000002000要使得平均收益E?Y?最大，所以
??2a2?14000a?8000000???0
得 a?3500（吨）
??
5. 一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率相应为0.1，0.2，0.3，假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求X的数学期望E?X?和方差D?X?。
解 X的可能取值为0，1，2，3，有
P?X?0??0.9?0.8?0.7?0.504P?X?1??0.1?0.8?0.7?0.9?0.2?0.7?0.9?0.8?0.3?0.398P?X?2??0.1?0.2?0.7?0.9?0.2?0.3?0.1?0.8?0.3?0.092P?X?3??0.1?0.2?0.3?0.006所以X的分布律为
E?X??0?0.504?1?0.398?2?0.092?3?0.006?0.6X Pr 0 0.504 1 0.398 2 0.092 3 0.006 EX2?02?0.504?12?0.398?22?0.092?32?0.006?0.82
D?X??0.82??0.6??0.461?x6. 设X的密度函数为f?x??e，求（1）E?X?；（2）EX2。
2??1?x解 （1）E?X???x?edx?0
??2????1221?xx2e?xdx?2 （2）E?X???x?edx?2???0222????注：求解（1）时利用被积函数是奇函数的性质，求解（2）时化简为的指数分布随机变量的二阶原点矩。
7. 某商店经销商品的利润率X的密度函数为f(x)?????0x2e?xdx可以看成为是服从参数为1
?2(1?x),0?x?1，求EX,DX。
其他?01x?2(1?x)dx? ?0312EX? （2）? ??0x2?2(1?x)dx?16112122故D(X)?E(X)?(E(X))??()?
6318解 （1）E?X??18. 设随机变量X的密度函数为
f?x?? e?x x?0
0 x?0
?2X求E?X?、E?2X?、EX?e、D?X?。
??解
E?X?????0xe?xdx?1E?2X??2E?X??2
????14E?X?e?2X??E?X??E?e?2X??1??e?2xe?xdx?1??e?3xdx?1??0033E?X2?????0x2e?xdx?22
D?X??E?X2???E?X???19. 设随机变量?X,Y?的联合分布律为
1 0.2 0.1 求E?X?、E?Y?、E?X?2Y?、E?3XY?、D?X?、D?Y?、cov?X,Y?、?X,Y。 解 关于X与Y的边缘分布律分别为： X 0 1 Pr 0.5 0.5 E?X??0?0.5?1?0.5?0.5
Y Pr 0 0.7 1 0.3 X\\Y 0 1 0 0.3 0.4