发布时间 : 星期五 文章概率统计简明教程习题答案（工程代数 - 同济版）更新完毕开始阅读
8. 在第3题的两种情况下，X与Y是否独立，为什么？
164416，而P?X?0?P?Y?0????，即255525P?X?0,Y?0??P?X?0?P?Y?0?；容易验证P?X?0,Y?1??P?X?0?P?Y?1?,
P?X?1,Y?0??P?X?1?P?Y?0?,P?X?1,Y?1??P?X?1?P?Y?1?，由独立性定义知X与Y相互独立。
284416在无放回情况下，由于P?X?0,Y?0??，而P?X?0?P?Y?0????，易见
455525P?X?0,Y?0??P?X?0?P?Y?0?，所以X与Y不相互独立。
解 在有放回情况下，由于P?X?0,Y?0??9. 在第6题中，X与Y是否独立，为什么？
?11??1??1?4?11??1??1?解 f??,??4，而fX????2,fY???，易见f??,??fX???fY??，所以X与Y不相互独
?43??4??3?3?43??4??3?立。
10. 设X、Y相互独立且分别具有下列的分布律： X -2 -1 0 0.5 Y -0.5 1 3 概率 写出表示?X,Y?的分布律的表格。 解 由于X与Y相互独立，因此
1 41 31 121 3 概率 1 21 41 4PX?xi,Y?yj?P?X?xi?PY?yj,i?1,2,3,4,j?1,2,3,
????例如P?X??2,Y??0.5??P?X??2?P?Y??0.5??其余的联合概率可同样算得，具体结果为 X\\Y -2 111?? 428-0.5 1 3 111 81616111-1 612121110 2448481110.5 6121211. 设X与Y是相互独立的随机变量，X服从?0,0.2?上的均匀分布，Y服从参数为5的指数分布，求?X,Y?的联合密度函数及P?X?Y?。
解. 由均匀分布的定义知
5,0?x?0.2fX?x??
0,其他由指数分布的定义知
y?05e?5y,fY?y??
其他0,因为X与Y独立，易得?X,Y?的联合密度函数
y 0?x?0.2,y?025e?5y,f?x,y??fX?x?fY?y??
其他0,概率P?X?Y????f?x,y?dxdy，
其中区域G???x,y?|x?y?见图5.3，经计算有
GP?X?Y???0dx?025e?5ydy??051?e?5xdx?e?1。
12. 设二维随机变量?X,Y?的联合密度函数为
0.2x0.2?? 0.2 x 图5.3 x?0,y?0ke??3x?4y?,f?x,y??
其他0,求：（1）系数k；（2）P?0?X?1,0?Y?2?；（3）证明X与Y相互独立。
解 （1）k必须满足??????f?x,y?dxdy?1，即?0dy?0ke??3x?4y?dx?1，经计算得k?12；
????2????（2）P?0?X?1,0?Y?2???0dy?012e??3x?4y?dx?1?e?31?e?8；
1????（3）关于X的边缘密度函数
??x?012e??3x?4y?dy,?0 fX?x?????f?x,y?dy?
??0,其他x?03e?3x,=
其他0,同理可求得Y的边缘密度函数为
x?04e?4y, fY?y??
其他0, 易见f?x,y??fX?x?fY?y?,???x???,???y???，因此X与Y相互独立。
13. 已知二维随机变量?X,Y?的联合密度函数为
0?x?1,0?y?xk?1?x?y,f?x,y??
0,其他（1）求常数k；（2）分别求关于X及关于Y的边缘密度函数；（3）X与Y是否独立？
解 （1）k满足??????f?x,y?dxdy?1，即?0dx?0k?1?x?ydy?1解得k?24；
????1x（2）X的边缘密度函数
x0?x?124?1?x?ydy,? fX?x?????f?x,y?dy? 0??0,其他0?x?112x2?1?x?,=
其他0,Y的边缘密度函数为
fY?y?? ?y24?1?x?ydx, 0?y?1
10,2其他0?y?112y?1?y?, =
其他0,1111131927?11? （3）f?,??24???，而fX?x??12???,fY?y??12???，易见
24342241616?24??11??1??1?f?,??fX??fY??，因此X与Y不相互独立。 ?24??2??4?14. 设随机变量X与Y的联合分布律为 X\\Y 0 1 2b 0 253a 1 25122 25253且P?Y?1|X?0??，（1） 求常数a,b的值；（2）当a,b取（1）中的值时，X与Y是否独立？为什么？
523231217解 （1）a,b必须满足??pij?1，即，另外由条件概率?b?a????1，可推出a?b?2525252525j?1i?1定义及已知的条件得
P?X?0,Y?1?b3P?Y?1|X?0????
2P?X?0?5?b25
31714，结合a?b?可得到a?， 25252514a?25即
3b?25143517（2）当a?时，可求得P?X?0??，易见 ,b?,P?Y?0??252525252P?X?0,Y?0???P?X?0?P?Y?0?
25由此解得b?因此，X与Y不独立。
15. 对于第2题中的二维随机变量?X,Y?的分布，求当Y?2时X的条件分布律。
解 易知p?2?P?Y?2??1，因此Y?2时X的条件分布律为 2X|Y=2 概率 1 2 3 p121? p?23p221? p?23p321? p?23?1?16. 对于第6题中的二维随机变量?X,Y?的分布，求当X?x,???x?0?时Y的条件密度函数。
?2?解 X的边缘密度函数为（由第7题所求得）
14?2x?1?,??x?0fX?x?? 2
0,其他?1?由条件密度函数的定义知当X?x,???x?0?时Y的条件密度函数为
?2?4,0?y?2x?1f?x,y?fY|X?y|x??? 4?2x?1?
fX?x?其他0,10?y?2x?1, = 2x?1
其他0,
习题六解答
1. 设X的分布律为
X 概率 -2 -0.5 0 2 4 11111 84863求出：以下随机变量的分布律。（1）X?2；（2）?X?1；（3）X2。
解 由X的分布律可列出下表 概率 1 8-2 0 3 4 1 4-0.5 1.5 1.5 0.25 1 80 2 1 0 1 62 4 -1 4 1 34 6 -3 16 X X?2 ?X?1 X2 由此表可定出
（1）X?2的分布律为
X?2
0
3 22 4 6
概率
（2）?X?1的分布律为
1 8-3 1 4-1 1 81 1 63 21 44 16 1 33 ?X?1 概率 （3）X2的分布律为
1 30 1 61 41 41 81 8X2 概率 1 8117其中PX2?4?P?X?2??P?X??2????。
86247 241 3??2. 设随机变量X服从参数??1的泊松分布，记随机变量Y? 解 由于X服从参数??1的泊松分布，因此
0,若X?1;1,若X?1,试求随机变量Y的分布律。
1k?1e?1P?X?k??e?,k?0,1,2,?,
k!k!e?1e?1??2e?1； 而 P?Y?0??P?X?1??P?X?0??P?X?1??0!1!P?Y?1??P?X?1??1?P?X?1??1?2e?1。 即Y的分布律为
Y 0 1 概率 2e?1 1?2e?1
0?x?1;2x,3. 设X的密度函数为f?x?? 求以下随机变量的密度函数：（1）2X；（2）?X?1；（3）X2。
0,其他,解 求连续型随机变量的函数的密度函数可通过先求其分布函数，然后再求密度函数。如果y?g?x?为单调可导函数，则也可利用性质求得。
（1）解法一：设Y?2X，则Y的分布函数
y??FY?y??P?Y?y??P?2X?y??P?X??
2??00yy?0?02yyy22= ?02xdx 0??1 = 0?y?2
24y?11y?221?02xdxy0?y?2fY?y??FY??y?? 2
其他0y1解法二：y?2x，x??h?y?，而h??y??，则
22fY?y??fX?h?y??h??y?
y1y?,0??1 = 22 20,其他2?