发布时间 : 星期四 文章【4份试卷合集】四川省宜宾市2019-2020学年数学高二第二学期期末综合测试模拟试题更新完毕开始阅读
【解析】 【分析】 （1）由
c2，2c?2，又由a2?b2?c2，解得a,b，即可求得椭圆的方程； ?a2（2）设出过焦点的直线方程代入椭圆方程，利用一元二次方程跟与系数关系得出交点纵坐标的关系，继而表示△OAB的面积，利用基本不等式求最值． 【详解】 （1）由
c2，2c?2，又由a2?b2?c2，解得a?2，b?1， ?a2x2所以椭圆E的方程为?y2?1．
2（2）设过F??1,0?的直线方程为x?my?1，
代入椭圆E的方程，化简得m?2y?2my?1?0，显然???． 设A?x1,y1?，B?x2,y2?， y1?y2??2?22m?1yy?，. 12m2?2m2?222?m2?1?4?2m??2从而y1?y2??2??22. 2m?2m?2???m?2?所以S?OAB1?OF?y1?y2?22?m?2??1. ?m?2?222令t?m2?2?2，
112?11?1则S?2??2??2???????，当t?2，即m?0时取等号. ttt242??所以?OAB面积的最大值为【点睛】
本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等． 19．（1）证明见解析；（2）【解析】 【分析】
?. 622. 2（1）根据线面垂直的判定定理，直接证明，即可得出结果；
（2）先由题意得到PD，建立空间直角坐标系，分别求出平面PAC与平面PDECD，AB两两互相垂直，的法向量，由向量夹角公式，即可求出结果. 【详解】
(1)由题意知AC?26，BC?23，AB?6， 所以AC2?BC2?AB2， 所以?ACB??2，所以cos?ABC?233， ?63又易知BD?2，
所以CD2?22?(23)2?2?2?23?cos?ABC?8， 所以CD?22，又AD?4， 所以CD2?AD2?AC2， 所以CD?AB，
因为平面PAB?平面ABC，交线为AB， 所以CD?平面PAB，所以CD?PD， 因为PD?AC，ACICD?C， 所以PD平面ABC；
(2)由(1)知PD，CD，AB两两互相垂直，所以可建立如图所示的直角坐标系D?xyz，
因为直线PA与平面ABC所成的角为
??，即?PAD?，所以PD?AD?4，
44则A(0,?4,0)，C22,0,0，B(0,2,0)，P(0,0,4)，
??uuuruuuruuur所以CB?(?22,2,0)，AC?22,4,0，PA?(0,?4,?4)．
??因为AD?2DB，CE?2EB，所以DE//AC， 由(1)知AC?BC，所以DE?BC， 又PD?平面ABC，所以PD?BC， 因为PDIDE?D，
所以CB?平面PDE，
uur所以CB??22,2,0为平面PDE的一个法向量．
??vvuuur?n?ACuv， 设平面PAC的法向量为n??x,y,z?，则?vuun?PA?所以??22x?4y?0?，令z?1，得x?2，y??1，
???4y?4z?0r所以n?(2,?1,1)为平面PAC的一个法向量．
ruurruurn?CB?4?23cos?n,CB?????ruur所以，
24?12nCB所以平面PAC与平面PDE所成的锐二面角的余弦值为故平面PAC与平面PDE所成的锐二面角为【点睛】
本题主要考查证明线面垂直，以及求二面角的大小，熟记线面垂直的判定定理，以及二面角的空间向量的求法即可，属于常考题型. 20．（1）??4,8?；（2）???,?21?. 【解析】 【分析】
?. 63， 2?2x?4,x?4?（1）由题意f?x???4,0?x?4，分类讨论即可得解；
?4?2x,x?0???1??（2）利用绝对值三角不等式求出f?x?min，利用基本不等式求出??t?4???9??，利用恒成立问题的解
?t??max?决办法即可得解. 【详解】
?2x?4,x?4?（1）由题意f?x??x?4?x??4,0?x?4，
?4?2x,x?0?则不等式f?x??12可转化为
?0?x?4?x?4?x?0或?或?， ?4?124?2x?122x?4?12???整理可得?4?x?8，
故不等式f?x??12的解集为??4,8?.
（2）由于x?4?x??x?4??x?4，当0?x?4时，等号成立； 44?1??4?而?t?4???9??1??9t?36?37???9t??37?2?9t?25，
tt?t??t?244?9t，即t2?，t?时，等号成立.
9t3?1??要使不等式x?4?x??t?4???9??m?t?R?恒成立，
?t?当且仅当
则m?25?4，解得m??21， 实数m的取值范围为???,?21?. 【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法，考查了绝对值三角不等式和基本不等式的应用，考查了恒成立问题的解决，属于中档题.
21． (1)证明见解析；(2) y2?22x；(3) 存在一点Q(?2p,0)满足题意. 【解析】 【分析】
(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),对y2?2px求导,则可求出在A,B处的切线方程,再联立切线方程分析即可. (2)根据(1)中的切线方程,代入y1?2px1,y2?2px2则可得到直线AB的方程,再联立抛物线求弦长列式求解即可.
(3)分情况,当D的纵坐标y0?0与y0?0两种情况,求出点C的坐标表达式,再利用AB与CD垂直进行求解分析是否存在即可. 【详解】
(1) 设A(x1,y1),B(x2,y2),对y2?2px求导有2yy'?2p,y'?22p,故在A(x1,y1)处的切线方程为ypy1yy12y1yy12y12y?y1?(x?x1),即x?x1??,又x1??,故x?
y1ppp2p2p2y2yy2?, 同理在B(x2,y2)处的切线方程为x?p2p??x??联立切线方程有??x???y1yy12?p2py1yy2yy12y12y1?y2????y?,, 化简得2pp2p2p2y2yy2?p2p