发布时间 : 星期六 文章2020高考人教版数学（理）总复习练习：第二章 函数、导数及其应用 课时作业13 Word版含解析更新完毕开始阅读
故点P的坐标为(1,1)．
故点P到直线y＝x－2的最小值dmin＝|1－1－2|
＝2. 2
11．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)． (1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围． 解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．
??f?0?＝b＝0，(1)由题意，得?
??f′?0?＝－a?a＋2?＝－3，
解得b＝0，a＝－3或a＝1.
(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，
所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0， 1
即4a＋4a＋1＞0，所以a≠－2. 2
1??1??
???所以a的取值范围为－∞，－2∪－2，＋∞?. ????
b
12．(2019·福州质检)设函数f(x)＝ax－x，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
7
解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝4x－3. 1b
当x＝2时，y＝2.又f′(x)＝a＋x2，
b1?2a－?2＝2，于是?b7
?a＋?4＝4，3故f(x)＝x－x.
??a＝1，解得?
??b＝3.
(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，
3
由y′＝1＋x2，知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为 3??
y－y0＝?1＋x2?(x－x0)，
?0?
3??3?????x－1＋即y－0x＝2?(x－x0)． x???00?6令x＝0，得y＝－x，
0
6??
??0，－从而得切线与直线x＝0的交点坐标为x0?. ?令y＝x，得y＝x＝2x0，
从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面1?6?
积为S＝2?－x?|2x0|＝6.
?0?
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.
13．(2019·达州二诊)已知曲线C在动点P(a，a2＋2a)与动点Q(b，b2＋2b)(a＜b＜0)处的切线互相垂直，则b－a的最小值为( A )
A．1 C.2
B．2 D．－2
解析：由题意可得曲线y＝x2＋2x上存在两点处的切线互相垂直，由y＝x2＋2x的导数为y′＝2x＋2，可得(2a＋2)(2b＋2)＝－1，由a
11
＋1＜b＋1，可得a＋1＜0，且b＝－1，b－a＝＋(－
－4?a＋1?－4?a＋1?111
a－1)≥2·?－a－1?·＝2×2＝1，当且仅当＝－a
－4?a＋1?－4?a＋1?31
－1，即a＝－2，b＝－2时等号成立，所以b－a的最小值为1.
ex
14．(2019·安徽江南十校联考)若曲线C1：y＝x与曲线C2：y＝a
2
(a＞0)存在公共切线，则a的取值范围为( D )
A．(0,1)
?e??? ，2C.4??
2
e??
B.?1，4? ??
?e??? ，＋∞D.4??
2
2
x
e
解析：曲线y＝x2在点(m，m2)的切线斜率为2m，曲线y＝a(a＞
1n??1n??n，e0)在点a?的切线斜率为ae，如果两条曲线存在公共切线，那么?1n
m－ae
1n
2m＝ae.又由直线的斜率公式得到2m＝，则有m＝2n－2，则
m－n
2
1n1x
由题意知4n－4＝ae有解，即y＝4x－4，y＝ae的图象有交点．若直11
线y＝4x－4与曲线y＝aex相切，设切点为(s，t)，则aes＝4，且t＝4s1s1414－4＝ae，可得切点为(2,4)，此时a＝e2，故要使满足题意，需a≤e2，e2e2
则a≥4，故a的取值范围是a≥4.故选D.
1
15．已知曲线y＝x，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线
e＋1方程为 x＋4y－2＝0 .
－ex
解析：y′＝x＝
?e＋1?2
－1
， 1x
e＋ex＋2
1
因为ex＞0，所以ex＋ex≥2时取等号)，
11
ex×ex＝2(当且仅当ex＝ex，即x＝0
－111
则ex＋ex＋2≥4，故y′＝≥－(当x＝0时取等号)． 14
ex＋ex＋2当x＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为1??11
?0，?，切线的方程为y－＝－(x－0)，即x＋4y－2＝0.
2?24?
16．(2019·安徽淮南一模)已知函数f(x)＝x2－lnx. (1)求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)在函数f(x)＝x2－lnx的图象上是否存在两点，使以这两点为切
?1?
?点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间2，1?上？若存在，求??
出这两点的坐标，若不存在，请说明理由．
1
解：(1)由题意可得f(1)＝1，且f′(x)＝2x－x，f′(1)＝2－1＝1，则所求切线方程为y－1＝1×(x－1)，即y＝x.
(2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
?1?
则x1，x2∈?2，1?，不妨设x1＜x2，
?
?
1??1??
???结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得2x1－x2x2－x?＝－?1??2?1，
?1?1
又函数f′(x)＝2x－x在区间?2，1?上单调递增，函数的值域为[－
??
1,1]，
11
故－1≤2x1－x＜2x2－x≤1，
1
2
1?2x－?1x1＝－1，
据此有?1
??2x2－x2＝1，
1
解得x1＝2，
1??
x2＝1?x1＝－1，x2＝－2舍去?，
??
1??1
故存在两点?2，ln2＋4?，(1,1)满足题意．
?
?