发布时间 : 星期二 文章高中数学第二章推理与证明2.1.3推理案例赏析学案苏教版选修2更新完毕开始阅读
2.1.3 推理案例赏析
学习目标 重点难点 1．了解和体会推理案例的启示． 重点：理解合情推理与演绎推理的含义． 2．了解推理在数学命题发展中的作用. 难点：合情推理与演绎推理的应用.
1．推理案例的启示
(1)数学发现活动是一个探索创造的过程．这是一个不断地________________的过程．合情推理和演绎推理相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程．
(2)________是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用．
(3)________是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据．
2．数学命题推理
数学命题推理有合情推理和演绎推理，__________和________是常用的合情推理．从推理形式上看，________是由部分到整体、个别到一般的推理，________是由特殊到特殊的推理，而演绎推理是由一般到特殊的推理；从推理所得的结论来看，________的结论不一定正确，有待于进一步证明，________在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．
预习交流1
做一做：在数列{an}中，a1＝1，Sn，Sn＋1,2S1成等差数列(不必证明)(Sn表示{an}的前n项和)，则S2，S3，S4分别为________，由此猜想Sn＝________.
预习交流2
做一做：从大、小正方形的数量关系上，观察下图，归纳得出的结论是__________．
预习交流3
32
做一做：已知a＞0且a≠1，P＝loga(a＋1)，Q＝loga(a＋1)．求证：P＞Q.
在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！ 我的学困点 我的学疑点
答案： 预习导引
1．(1)提出猜想、验证猜想 (2)合情推理 (3)演绎推理
2．归纳推理 类比推理 归纳推理 类比推理 合情推理 演绎推理 预习交流1：提示：∵Sn，Sn＋1，2S1成等差数列， ∴2Sn＋1＝Sn＋2S1.
3715
∵S1＝a1＝1，∴2Sn＋1＝Sn＋2.∴当n＝1,2,3时，依次得S2＝，S3＝，S4＝.猜想Sn248
n2－1＝n－1. 2
预习交流2：提示：从大、小正方形的数量关系上，容易发现
2
1＝1，
2
1＋3＝2×2＝2，
2
1＋3＋5＝3×3＝3，
2
1＋3＋5＋7＝4×4＝4，
2
1＋3＋5＋7＋9＝5×5＝5，
2
1＋3＋5＋7＋9＋11＝6×6＝6.
观察上述算式的结构特征，我们可以猜想：
2
1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n.
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预习交流3：证明：当a＞1时，a＋1＞a＋1，
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∴loga(a＋1)＞loga(a＋1)．
32
当0＜a＜1时，a＋1＜a＋1，
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∴loga(a＋1)＞loga(a＋1)． 综上，P＞Q.
一、利用合情推理提出猜想
设k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱对角面的个数为f(k＋1)＝f(k)＋________. 思路分析：注意几何图形参数在由k变到k＋1时，发生了哪些变化，增加了多少．
26537110－2
1．观察下列各等式：＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋
2－46－45－43－47－41－410－4－2－4
＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为__________．
2．我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是________________________
________________________________________________________________________. 合情推理和演绎推理的关系是：
(1)联系：两个推理是相辅相成的，演绎推理是证明数学结论，建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路的发现，主要靠合情推理．
(2)区别：合情推理的前提为真时，结论不一定为真，而演绎推理的前提为真时，结论必定为真．
二、利用演绎推理证明 *
已知{an}为等差数列，首项a1＞1，公差d＞0，n＞1且n∈N.求证：lg an＋1lg an－1＜(lg 2an).
思路分析：对数之积不能直接运算，必须由均值不等式转化为对数之和进行运算． 如图所示，在梯形ABCD中AB=DC=DA，AC和BD是梯形的对角线．求证：AC平分∠BCD，DB平分∠CBA.
三段论中大前提是一个一般性结论，是共性，小前提是指其中的一个．要
得到一个正确的结论，大前提和小前提都必须正确，二者中有一个错误，结论就不正确．如所有的动物都用肺呼吸，鱼是动物，所以鱼用肺呼吸，此推理显然错误，错误的原因是大前提错．再如所有的能被2整除的数是偶数，合数是偶数，所以合数能被2整除，此推理错误的原因是小前提错．为了方便，在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表述方式．
1．如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_________条．这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)=_________，f(n)=_________.(答案用数字或含n的解析式表示)
2．已知1＋2×3＋3×3＋4×3＋…＋n·3a＝________，b＝________，c＝________.
3．根据下列给出的数塔猜测123 456×9＋7＝________.
1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111
100100
4．__________，(2＋1)是奇数，所以(2＋1)不能被2整除．请将此三段论补充完整．
bb＋m5．已知a，b，m均为正实数，且b＜a，用三段论证明＜. aa＋m 提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记. 知识精华 技能要领 23n－1
*
＝3(na＋b)＋c对一切n∈N都成立，则
n 答案：
活动与探究1：k－1 解析：k棱柱增加一条侧棱时，则这条侧棱和与之不相邻的k－2条侧棱可构成k－2个对角面，而增加一条侧棱时也使一个侧面变成了对角面．∴f(k＋1)＝f(k)＋k－2＋1＝f(k)＋k－1.
迁移与应用：
8－n＋＝2 解析：观察发现：每个等式的右边均为2，左边是两个分数n－4(8－n)－4
相加，分子之和等于8，分母中被减数与分子相同，减数都是4.
2．表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体和球中，球的体积最大
解析：平面图形与立体图形的类比：周长→表面积，正方形→正方体，面积→体积，矩形→长方体，圆→球．
活动与探究2：证明：∵{an}为等差数列，∴an＋1＋an－1＝2an.
222
∵d＞0，∴an－1·an＋1＝(an－d)(an＋d)＝an－d＜an. ∵a1＞1，d＞0，∴an＝a1＋(n－1)d＞1. ∴lg an＞0.
?lg an＋1＋lg an－1?2
∴lg an＋1lg an－1≤??2??
2?2?1?2?12
＝?lg(an－1an＋1)?＜?lg an?＝(lg an)， ?2??2?
2
即lg an＋1lg an－1＜(lg an). 迁移与应用：
证明：①等腰三角形两底角相等，(大前提)
1．
n△DAC是等腰三角形，DA，DC是两腰，(小前提) ∠1＝∠2.(结论)
②两条平行线被第三条直线所截，截得的内错角相等，(大前提) ∠1和∠3是平行线AD，BC被AC截得的内错角，(小前提) ∠1＝∠3.(结论)
③等于同一个量的两个量相等，(大前提) ∠2和∠3都等于∠1，(小前提) 所以∠2＝∠3，(结论) 即AC平分∠BCD. ④同理DB平分∠CBA. 当堂检测
n2＋nn(n－1)(n－2)1． 12 解析：所有顶点确定的直线共有：棱数＋底边数＋对
22
n(n－3)n2＋n角线数，即n＋n＋＝. 224×1
f(4)＝4×2＋×2＝12，
2
n(n－3)n(n－1)(n－2)
f(n)＝n(n－2)＋×(n－2)＝.
22
111
2． － 解析：错位相减法，求左边的和． 244
23n－1
设Sn＝1＋2×3＋3×3＋4×3＋…＋n×3，①
23n－1n则3Sn＝1×3＋2×3＋3×3＋…＋(n－1)×3＋n×3，②
23n－1n①－②得－2Sn＝1＋3＋3＋3＋…＋3－n×3
n1－3?1?n1n＝－n×3＝?－n?×3－. 1－32?2?
?11?n1n∴Sn＝?n－?×3＋＝3(na＋b)＋c.
4?24?
111∴a＝，b＝－，c＝.
2443．1 111 111
4．奇数不能被2整除
5．证明：因为不等式两边同乘以一个正数，不等号方向不变，(大前提) b＜a，m＞0，(小前提) 所以mb＜ma.(结论)
因为不等式两边同加上一个数，不等号方向不变，(大前提) mb＜ma，(小前提)
所以mb＋ab＜ma＋ab，即b(a＋m)＜a(b＋m)．(结论)
因为不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变，(大前提) b(a＋m)＜a(b＋m)，a(a＋m)＞0，(小前提)
b(a＋m)a(b＋m)所以＜，
a(a＋m)a(a＋m)
即＜bb＋m.(结论)
aa＋m