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x?G,注意到N?G,我们有
{x,xa}?xN?Nx?{x,ax}.
由此可见,xa?ax,从而,a?C(G).所以N?C(G). 2.设N≤G,且[G:N]?2.证明:N?G.
证明 众所周知,N既是N的左陪集,又是N的右陪集.由于[G:N]?2,因此G\\N既是N的左陪集,又是N的右陪集.这就是说,N的左陪集都是N的右陪集.所以
N?G.
3.设N≤G.证明:N?G?NG(N)?G.
注:NG(N)?{x?G|xN?Nx}. 证明 显然.
4.设H≤G.证明:CG(H)?NG(H). 注:CG(H)?{x?G|xh?hx,?h?H}.
证明 我们已经知道CG(H)≤G,NG(H)≤G.根据CG(H)和NG(H)的定义可知,
CG(H)?NG(H),
从而,
CG(H)≤NG(H).
其次,根据NG(H)的定义可知,
H?NG(H).
现在任取a?NG(H),x?CG(H).由于H?NG(H),因此,对于任意的h?H,我们有
a?1ha?H.由于x?CG(H),因此
x(a?1ha)?(a?1ha)x,?h?H,
从而
(axa?1)h?h(axa?1),?h?H.
1a?CG(H).这就是说,对于任意的a?NG(H),x?CG(H),我们有所以ax?1ax?a?CG(H).
所以CG(H)?NG(H).
5.设N≤G.证明:N?G的充要条件是N的任意两个左陪集的乘积是左陪集. 证明 必要性是显然的.现在证明充分性.任取a?G.由于N是N的左陪集,因此存在N的左陪集bN,使得
(Na)N?N(aN)?bN,
由此可见,Na?bN,a?bN,从而aN?bN.所以Na?aN.由于a的任意性,根据上式我们又可以断言,
Na?1?a?1N.
将上式两边左乘a,右乘a,得aN?Na.所以aN?Na.由于a的任意性,上式表明
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N?G.
6.证明:循环群的商群是循环群.
证明 设G?(a)是循环群,H是G的子群.于是,我们有
G/H?{anH|n?Z}?{(aH)n|n?Z}?(aH).
这就表明,G/H是循环群.
7.证明:四次交代群没有6阶子群.
证明 我们用反证法来证明.为此,假设N≤A4,且|N|?6.于是,由于|A4|?12,因此[A4:N]?2.根据第1题的结论,N?A4.其次,我们知道,
B4?{(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}?S4.
显然B4?A4.这样一来,B4?N?A4.根据Lagrange定理,B4不是N的子群.因此B4中至少有一个元素不属于N.注意到[A4:N]?2,可知B4N?A4.这样一来,根据定理2.39.
|B4?N|?|B4||N||B4||N|4?6???2.
|B4N||A4|12由于B4?N?A4,根据第1题,B4?N?C(A4).现在设??B4?N,并且??(1).于是,存在1,2,3,4这4个数字的一个排列i1i2i3i4,使得
??(i1i2)(i3i4).
显然??(i1i2)(i1i3)?A4.由于
???(i1i2)(i3i4)(i1i2)(i1i3)?(i1i4i3),
???(i1i2)(i1i3)(i1i2)(i3i4)?(i2i3i4),
从而?????,因此??C(A4).这与B4?N?C(A4)矛盾. 上述表明,四次交代群A4没有6阶子群.
8.证明:商群G/N的任意子群是H/N,其中H是G的子群且H?N. 证明 设K≤G/N,e为G的单位元.令H?{x?G|xN?K}.
首先,对于任意的x?N,我们有xN?N.由于N是G/N的单位元,K≤G/N,从而
xN?K,因此x?H.这表明H?N.
其次,H≤G.事实上,显然e?H?G.若x,y?H,则xN,yN?K,从而,
xy?1N?(xN)(y?1N)?K,
因此xy?1?H.所以H≤G.
再者,由于H?N,H≤G,N?G,我们可以断言,N?H.因此H/N有意义. 最后,对于任意的x?G,我们有
xN?K?x?H?xN?H/N.
所以K?H/N.
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§2.9同态基本定理与同构定理
1.设f是群G到群G'的同态,a,b?G.证明:
f(a)?f(b)?aKerf?bKerf.
证明 令e'表示群G'的单位元.我们有
f(a)?f(b)?f(a)(f(b))?1?e'?f(ab?1)?e'?ab?1?Kerf.
由于Kerf?G,
ab?1?Kerf?aKerf?bKerf.
所以
f(a)?f(b)?aKerf?bKerf.
2.设H,K都是G的正规子群,证明:
G/HK?(G/H)/(HK/H).
证明 根据§2.8例5,HK?G.显然H?HK,从而H?HK.这样一来,根据本节例2,我们有
G/HK?(G/H)/(HK/H).
3.(群的第二同构定理)设G是群,H≤G,K?G,则
H?K?H,HK/K?H/H?K.
证明 显然H?K≤H且
hH?H?Hh,?h?H.
由于K?G,H?G,因此
hK?Kh,?h?H.
所以
h(H?K)?hH?hK?Hh?Kh?(H?K)h,?h?H.
这就表明H?K?H.其次,由H≤G和K?G立即可知HK≤G且K?HK. 现在令
f(x)?xK,?x?H.
由于H?HK,易见f是H到HK/K的映射.其次,设A为K在HK中的任意一个陪集.于是,存在x'?HK,使得A?x'K.由于x'?HK,存在x?H和k?K,使得x'?xk,从而,A?x'K?xkK?xK.也就是说,存在x?H,使得f(x)?A.所以f是H到HK/K的满射.又因为对于任意的x,y?H,我们有
f(xy)?xyK?(xK)(yK)?f(x)f(y).
所以f是H到HK/K的满同态.最后,对于任意的x?H,我们有
x?Kerf?f(x)?K?xK?K?x?K?x?H?K.
因此Kerf?H?K.这样一来,根据同态基本定理,我们可以断言
HK/K?H/H?K.
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4.利用第二同构定理证明:S4/B4?S3,其中S4是四次对称群,S3是三次对称群,B4?{(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}是Klein四元群. 证明 我们已经知道,B4?S4.令
H?{??S4|?(4)?4}.
不难验证,H≤S4且H?S3.显然,|H|?6,|B4|?4,H?B4?{(1)},从而|H?B4|?1.根据定理2.39,
|HB4|?|H||B4|6?4??24.
|H?B4|1由此可见S4?HB4.这样一来,根据群的第二同构定理,我们有
S4/B4?H/(H?B4).
由于,H?B4?{(1)}可知H/(H?B4)?H.又因H?S3,故S4/B4?S3. 5.设(6),(30)是整数加群Z的两个子群,证明:(6)/(30)?Z5.
证明 显然(30)?(6).由前节第6题知,(6)/(30)是循环群.易见,(30)在(6)中的全体陪集为:
(30),6?(30),12?(30),18?(30),24?(30).
因此|(6)/(30)|?5.这样一来,根据定理2.32,(6)/(30)?Z5.
6.设G是群,G'是交换群,f是G到G'的同态,且Kerf?N≤G,证明:N?G. 证明 由于f是G到G'的同态且N≤G,根据定理2.28(4),f(N)≤G'.此外,由于f(N)≤G'且G'是交换群,因此f(N)?G',从而f(N)?Imf.由于f(N)?Imf且f是G到Imf的满同态,根据群的第一同构定理,f?1(f(N))?G.这样一来,为了完成我们的证明,只需阐明N?f?1(f(N)).
事实上,显然N?f?1(f(N)).另一方面,注意到Kerf?N≤G,我们有
x?f?1(f(N))??y?N,使得f(x)?f(y)
?f(xy?1)?f(x)(f(y))?1?e' ?xy?1?Kerf ?xy?1?N?x?N,
其中e'表示G'的单位元.因此f?1(f(N))?N.所以N?f?1(f(N)).这正是我们所需要的结论.
7.利用同态基本定理证明定理2.32. 注:定理2.32如下:
设G?(a)是循环群.(1)若|a|??,则G?(Z,?);(2)若|a|?m,则G?(Zm,?). 证明 定义Z到G的映射f如下:
f(n)?an,?n?Z.
显然f是满射.又因为
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