发布时间 : 星期一 文章最新-2018高中数学 3-1-4空间向量的正交分解及其坐标表示同步检测 新人教B版选修2-1 精品更新完毕开始阅读
3.1第4课时 空间向量的正交分解及其坐标表示
一、选择题
1．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中真命题是( ) A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C．若a＝b，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c [答案] B
[解析] a·b＝0?a⊥b，|a|＝|b|?(a＋b)·(a－b)＝0?(a＋b)⊥(a－b)；
2
2
2
2
a·b＝a·c?a⊥(b－c)；故A、C、D均错．
2．以下四个命题中正确的是( )
A．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示
B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则a，b，c全不是零向量 →→
C．△ABC为直角三角形的充要条件是AB·AC＝0 D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底 [答案] B
[解析] 使用排除法．因为空间中的任何一个向量都可用其它三个不共面的向量来表示，．．．→→→→→→故A不正确；△ABC为直角三角形并不一定是AB·AC＝0，可能是BC·BA＝0，也可能是CA·CB＝0，故C不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D不正确，故选B.
→→→→
3．长方体ABCD－A1B1C1D1中，若AB＝3i，AD＝2j，AA1＝5k，则AC1( ) A．i＋j＋k
111B.i＋j＋k 325
C．3i＋2j＋5k D．3i＋2j－5k [答案] C 4．给出下列命题：
①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可作为空间的基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N→→→
是空间四点，若BA，BM，BN不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3 [答案] D
D．4
[解析] 根据基底的概念，空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否→→→
则就不能构成空间的一个基底．显然②正确，③中由BA、BM、BN共面且过相同点B，故A、B、
M、N共面．
下面证明①④正确．
①假设d与a、b共面，则存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0， ∴存在实数k，使d＝kc， ∵d≠0，∴k≠0，从而c＝
λμa＋b， kk∴c与a、b共面与条件矛盾． ∴d与a，b不共面． 同理可证④也是正确的．
5．已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间的另一个基底的是( )
A．a C．c [答案] C
11
[解析] ∵a＝p＋q，∴a与p、q共面，
2211
∵b＝p－q，∴b与p、q共面，
22∵不存在λ、μ，使c＝λp＋μq，
∴c与p、q不共面，故{c，p，q}可作为空间的一个基底，故选C. 6．给出下列两个命题：
①如果向量a，b与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a，b的关系是不共线； →→→
②O，A，B，C为空间四点，且向量OA，OB ，OC不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，
B．b D．无法确定
C一定共面．
其中正确的命题是( ) A．仅① C．①② [答案] B
B．仅② D．都不正确
→
[解析] ①对空间任意向量c，都有c与a、b共面，则必有a与b共线，∴①错；②∵OA、→→→→→→→→OB、OC不能构成空间的基底，∴OA、OB、OC必共面，故存在实数λ，μ，使OA＝λOB＋μOC，∴O、A、B、C四点共面，
∴②正确．
→
7．已知i、j、k是空间直角坐标系O－xyz的坐标向量，并且AB＝－i＋j－k，则B点的坐标为( )
A．(－1,1，－1) B．(－i，j，－k) C．(1，－1，－1) D．不确定 [答案] D
→
[解析] 向量AB的坐标与B点的坐标不同．
→→
8．设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若OG＝xOA→→
＋yOB＋zOC，则(x，y，z)为( )
?111?A.?，，? ?444??111?C.?，，? ?333?
[答案] A
?333?B.?，，? ?444??222?D.?，，? ?333?
[解析] 连AG1交BC于E，则E为BC中点， →
AE＝(AB＋AC)＝(OB－2OA＋OC)， AG1＝AE＝(OB－2OA＋OC)，
→
2→1→33
→
→
1→2
→
1→2
→→
3→→→→
∵OG＝3GG1＝3(OG1－OG)，∴OG＝OG1，
4→3→3→→∴OG＝OG1＝(OA＋AG1)
443→1→2→1→
＝(OA＋OB－OA＋OC) 4333