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直线与方程
倾斜角与斜率
1. 当直线l与x轴相交时，我们把x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l的倾斜角?的范围是0????. 2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即k?tan?. 如果知道直线上两点
y?y1. 特别地是，当x1?x2，y1?y2时，直线与x轴垂直，斜率kP(x1,y1),P(x2,y2)，则有斜率公式k?2x2?x1不存在；当x1?x2，y1?y2时，直线与y轴垂直，斜率k=0.
注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k=0；当0????90?时，斜率k?0，随着α的增大，斜率k也增大；当90????180?时，斜率k?0，随着α的增大，斜率k也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k取值范围的一些对应问题. 例.如右图，直线l1的倾斜角?=30°，直线l1⊥l2，求直线l1和l2的斜率. y 解：k1=tan30°=∴k2 =—3
例：直线x?3y?5?0的倾斜角是( )
3 ∵l1⊥l2 ∴ k1·k2 =—1 3?1 o l1 ?2
x l2 A.120° B.150° C.60° D.30° ②过两点P1 (x1，y1)、P1(x1，y1) 的直线的斜率公式：k?注意下面四点：
(1)当x1?x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k与P1、P2的顺序无关；
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
y2?y1(x1?x2)
x2?x1直线的点斜式方程
1. 点斜式：直线l过点P0(x0,y0),且斜率为k，其方程为y?y0?k(x?x0). 2. 斜截式：直线l的斜率为k，在y轴上截距为b，其方程为y?kx?b.
3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线. 若直线l过点P0(x0,y0)且与x轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为x?x0?0，或x?x0.
y?y0?k与y?y0?k(x?x0)是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点P0(x0,y0)，后者才是4. 注意：
x?x0整条直线.
直线的两点式方程
1. 两点式：直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，其方程为
y?y1x?x1?， y2?y1x2?x12. 截距式：直线l在x、y轴上的截距分别为a、b，其方程为
xy??1.注意：一条直线与两条坐标轴截ab距相等分两种情况 ①两个截距都不为0 ②或都为0 ；但不可能一个为0，另一个不为0. 其方程可设为：
xy??1或y=kx. ab1
3. 两点式不能表示垂直x、y轴直线；截距式不能表示垂直x、y轴及过原点的直线.
x?xy?y24. 线段P1P2中点坐标公式(12,1).
22直线的一般式方程
1. 一般式：Ax?By?C?0，注意A、B不同时为0. 直线一般式方程Ax?By?C?0(B?0)化为斜截式
ACAC方程y??x?，表示斜率为?，y轴上截距为?的直线.
BBBB2. 与直线l:Ax?By?C?0平行的直线，可设所求方程为Ax?By?C1?0；与直线Ax?By?C?0垂直的直线，可设所求方程为Bx?Ay?C1?0.
3. 已知直线l1,l2的方程分别是：l1:A1x?B1y?C1?0（A1,B1不同时为0），l2:A?C?0（A2,B2不2x?2By2同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：
（1）l1?l2?A1A2?B1B2?0； （2）l1//l2?A1B2?A2B1?0,AC12?A2B1?0； （3）l1与l2重合?A1B2?A2B1?0,AC12?A2B1?0； （4）l1与l2相交?A1B2?A2B1?0.
ABCABCAB如果A2B2C2?0时，则l1//l2?1?1?1；l1与l2重合?1?1?1；l1与l2相交?1?1.
A2B2C2A2B2C2A2B2两条直线的交点坐标
1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组??A1x?B1y?C1?0. 若方程组有惟
Ax?By?C?0?222一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时
两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.
2. 方程?(A1x?B1y?C1)?(A2x?B2y?C2)?0为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是A1x?B1y?C1?0与A2x?B2y?C2?0的交点.
例题：根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：
1(1)斜率是?，经过点A(8，—2)； .
2(2)经过点B(4,2)，平行于x轴； . 3(3)在x轴和y轴上的截距分别是,?3； .
2(4)经过两点P1(3，—2)、P2(5，—4)； .
例1：直线l的方程为Ax+By+C=0，若直线经过原点且位于第二、四象限，则（ ）
A．C=0，B>0 B．C=0，B>0，A>0
C．C=0，AB<0 D．C=0，AB>0
例2：直线l的方程为Ax—By—C=0，若A、B、C满足AB.>0且BC<0，则l直线不经的象限是（ ）A．第一 B．第二 C．第三 D．第四
两条直线平行与垂直的判定
1. 对于两条不重合的直线l1 、l2，其斜率分别为k1、k2，有：
（1）l1//l2?k1?k2；（2）l1?l2?k1?k2??1.
2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x轴；…. 例.设直线 l1经过点A(m，1)、B(—3，4)，直线 l2经过点C(1，m)、D(—1，m+1)， 当(1) l1/ / l2 (2) l1⊥l1时分别求出m的值
三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等，那么这三点共线。 已知两条直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，
(A1与B1及A2与B2都不同时为零)
2
?A1x?B1y?C1?0若两直线相交，则它们的交点坐标是方程组?的一组解。
Ax?By?C?022?2若方程组无解?l1//l2 ； 若方程组有无数解?l1与l2重合 点的坐标与直线方程的关系
几何元素 点P 直线l 点P(xo，yo)在直线l上 代数表示 坐标P(xo，yo) 方程Ax+By+C=0 坐标(x0,y0)满足方程：Ax+By+C=0 点P(xo，yo)是l1、l2的交点 两条直线的位置关系的判定公式 A1B2—A2B1≠0 ?A1x?B1y?C1?0坐标(xo，yo)满足方程组? Ax?By?C?022?2方程组有唯一解 两直线相交 ?A1B2?A2B1?0 ??B1C2?B2C1?0, 或A1C2—A2C1 ≠ 0 无解 两直线平行 ?A1B2?A2B1?0 ??B1C2?B2C1?0 或A1C2—A2C1 = 0 有无数个解 两直线重合 两条直线垂直的判定条件：当A1、B1、A2、B2满足 时l1⊥l2。答：A1A2+B1B2=0 经典例题；
例1.已知两直线l1： x+(1+m) y =2—m和l2：2mx+4y+16=0，m为何值时l1与l2①相交②平行 例2. 已知两直线l1：(3a+2) x+(1—4a) y +8=0和l2：(5a—2)x+(a+4)y—7=0垂直，求a值 例3.求两条垂直直线l1：2x+ y +2=0和l2： mx+4y—2=0的交点坐标 例4. 已知直线l的方程为y??1x?1， 2(1)求过点（2，3）且垂直于l的直线方程；(2)求过点（2，3）且平行于l的直线方程。 两点间距离公式：设A(x1，y1)、B(x2，y2)是平面直角坐标系中的两个点，
22则|AB|=(x2?x1)?(y2?y1)
点到直线距离公式：一点P(xo，yo)到直线l：Ax+By+C=0的距离d?两平行直线距离公式
|Axo?Byo?C|A?B22
例：已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0，
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则l1与l2的距离为d?C1?C2A?B22
例1：求平行线l1：3x+ 4y —12=0与l2： ax+8y+11=0之间的距离。
例2：已知平行线l1：3x+2y —6=0与l2： 6x+4y—3=0，求与它们距离相等的平行线方程。 直线系方程
已知两条直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，(A1与B1及A2与B2都不同时为零) 若两直线相交，则过它们的交点直线方程可以表示为：
l：A1x+B1y+C1+?(A2x+B2y+C2) =0或者? (A1x+B1y+C1)+ A2x+B2y+C2 =0都可以 例1：直线l：(2m+1)x+(m+1)y—7m—4=0所经过的定点为 。(m∈R) 例2：求满足下列条件的直线方程
(1) 经过点P(2，3)及两条直线l1： x+3y—4=0和l2：5x+2y+1=0的交点Q；
(2) 经过两条直线l1： 2x+y—8=0和l2：x—2y+1=0的交点且与直线4x—3y—7=0平行； (3) 经过两条直线l1： 2x—3y+10=0和l2：3x+4y—2=0的交点且与直线3x—2y+4=0垂直； 中点坐标公式：已知两点P1 (x1，y1)、P1(x1，y1)，则线段的中点M坐标为(例. 已知点A(7，—4)、B(—5,6),求线段AB的垂直平分线的方程。 对称点与对称直线的求法
例1：已知直线l：2x—3y+1=0和点P(—1，—2).
(1) 分别求：点P(—1，—2)关于x轴、y轴、直线y=x、原点O的对称点Q坐标 (2) 分别求：直线l：2x—3y+1=0关于x轴、y轴、直线y=x、原点O的对称的直线方程. (3) 求直线l关于点P(—1，—2)对称的直线方程。 (4) 求P(—1，—2)关于直线l轴对称的直线方程。
例2：点P(—1，—2)关于直线l： x+y—2=0的对称点的坐标为 。
x1?x2y?y2，1) 22圆与方程
1.圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合(或点的轨迹)叫圆，
定点为圆心，定长为圆的半径.
2、圆的方程
(1)标准方程(x—a)2+(y—b)2=r 2，圆心(a，b)，半径为r；点M(x0 ，y0)与圆(x—a)2+(y—b)2=r 2的位置关系： 当(x0—a)(x—a)+(y0—b)(y—b)> r2 ，点在圆外 当(x0—a)(x—a)+(y0—b)(y—b)= r2 ，点在圆上 当(x0—a)(x—a)+(y0—b)(y—b)< r2 ，点在圆内
例：若点(1，1)在圆(x—a)2+(y+a)2=4的内部，则实数a的取值范围是 。
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