发布时间 : 星期一 文章渔场鱼量最优化模型更新完毕开始阅读
景德镇陶瓷学院
数学模型课程设计
学院： 信息工程学院 班级： 信息 小组成员：
捕鱼业的持续收获
摘要 运用微分方程稳定性理论，建立渔场鱼量的自然生长服从种
族增长规律Gompertz模型的情况下，分析了鱼量稳定的条件，并且在稳定的前提下，使用图解法和微分法讨论如何控制捕捞使持续产量达到最大和经济效率达到最大并且研究捕捞过度问题。最后，对模型的优缺点进行了讨论。
关键词：Gompertz模型 稳定性 微分法 捕捞过度
正文
问题复述
可持续发展是一项基本国策，对于像渔业、林业这样的再生资源，一定要适度开发，不能为了一时的高产去“涸泽而渔”，应该在持续稳产的前提下追求产量或利益最优化。已知某渔场鱼量的自然生长服从种族增长规律Gompertz环境容许的最大鱼量。
N模型：rxlnx，其中r是固有增长率，N是
产量模型
一．模型假设
1.假设鱼群的数量随时间连续地，甚至是可微地变化； 2.假设鱼群生活在一个稳定的环境中，即其增长率与时间无关； 3.种群的增长是种群个体死亡与繁殖共同作用的结果；
4.资源有限的生存环境对种群的繁衍，生长有抑制作用，而且这一作用与鱼群的数量是成正比的；
5.渔场鱼量的自然增长服从Gompertz模型。
二．符号说明
符号 X(t) r N f(x) E h(x) X0 X1 hm EM X0* 含义 时刻t渔场中的鱼量 固有增长率 坏境容许的最大鱼量 单位时间的增长量 单位时间捕捞率 单位时间的捕捞量 平衡点 平衡点 最大持续产量 获得最大产量的捕捞强度 最大的持续产量此时的稳定平衡点 三.模型建立
1.在无捕捞条件下x(t)的增长服从Gompertz规律，即
x.N(t)=f(x)=rxlnx (1)
2.单位时间的捕捞量（即产量）与渔场鱼量x(t)成正比，捕捞强度为E，可以用比如捕鱼肉眼的大小或出海渔船数量来控制其大小，于是单位时间的捕捞量为：h(x)=Ex. (2) 根据以上假设并记F(X)=f(x)-h(x) 得到捕捞情况下渔场鱼量满足
x.N(t)=F(X)= rxlnx- Ex (3)
四．模型的求解
令F(x)=0 得到两个平衡点Ｘ０=NeE-r,Ｘ１=0 (4)
N不难算出F＇（x）=rlnx-r-E,所以F＇（Ｘ０）=-r, F＇（Ｘ１)=∞
若Ner（Ｘ０）=-r<0,即r>0 (5) 时Ｘ０点稳定，Ｘ１点不稳定 。
结果表明当r>0，就可以使渔场的鱼量稳定在 Ｘ０=NeE-r-E,但是若捕
鱼强度E越大，稳定的鱼量Ｘ０就会越小，此时持续产量为：h(Ｘ
x０)=E
0=ENeE-r
进一步研究渔场鱼量稳定在x0的前提下，如何控制捕鱼强度E使持续产量最大的问题。 设h(E)=ENeE-r
,即求h(E)的最大值hm，可用微分法求解。令
ｈ＇（E）=0得Em= r (6) 此时hm=h(Em)=rNe＊
E-r =rN/e (7)
此时渔场的鱼量 X0=hm/Em=N/e (8) 综上所述，产量模型的结论是将捕鱼强度控制在固有增长率r的时候，能够获得最大持续产量
还可以运用图解法求解，作抛物线y=f(x)和直线y=h(x)=Ex,如下图：