发布时间 : 星期五 文章[整理]数学分析课本（华师大三版）-习题及答案第二十一章更新完毕开始阅读
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yx?y(2)
??eDdxdy,D=??x,y?x?y?1,x?0,y?0?.
12.设f:[a,b]→R为连续函数,应用二重积分性质证明:
?bf?x?dx???b?a?bf2?x?dx，
?a????a?其中等号仅在f为常量函数时成立。 13.设f为连续函数,且f(x,y)=f(y,x) 证明:
14.求由下列曲线所围成的平面图形面积:
(1) x+y=a; x+y=b; y=αx; y=βx, (a>b,α>β)
2?10dx?f?x,y?dy=?dx?f?1?x,1?y?dy.
000x1x?x2y2?22?x?y?(2)?= ?a2b2???
15.设f(x,y)=sfn(x-y),试讨论函数F(y)=图像.
2?f?x,y?dx在???,??上的连续性并作出F(y)的
01?2f?x?, x??a,b? ??? x?a,b?0, §3 三重积分
1.计算下列积分 (1)
????xy?z?dxdydz,其中v=??2,5????3,3???0,1?;
2v(2)
?????0,1?0,?? xcosycoszdxdydz,其中v=???v??2????0,?; ??2?(3)
dxdydz???v?1?x?y?z?3,其中V是由x+y+z=1与三个坐标面所围成的区域;
(4)
?x??ycosx?zdxdydz,其中V是由y=,y=0,z=0及x+z=所围成的区域. ???v2-------------
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2.试改变下列累次积分的顺序: (1)(2)
?dx?01011??01dy?0x?y0f?x,y,z?dz; f?x,y,z?dz.
?dx?dy?0x2?y2?10dx??2dz?x1?x21z?x2f?x,y,z?dy
3.计算三重积分: (1) (2)
22222222x?y?z?ry?z?2rz所确定; ,其中V由和 Zdxdydzx????v?dx?011?x20dy?2?x2?y2x?y22z2dz.
4.利用适当的坐标变换,计算下列各曲面所围成的体积:
22(1) Z=x?y,z=2x?y?22?,y=x,y=x;
2
?xy??z?(2)???+??=1,?x?0,y?0,z?0,a>0,b>0,c>0) ?ab??c?5.设（fx，y，z）在长方体V=?a,b???c,d???e,f?上可积,若对任何?y,z??D=?c,d???e,f?定积分F(y,z)=
22?f?x,y,z?dx
ab存在,证明F(y,z)在D上可积,且
??F?y,z?dydz=???f?x,y,z?dxdydz.
Dv
?x2y2z26.设V=??x,y,z?2?2?2?1?计算下列积分:
abc?(1)
???vx2y2z21?2?2?2dxdydz;
abcx2y2z2??a2b2c2(2)
???evdxdydz.
.
§4 重积分的应用
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2221.求曲面az=xy包含在圆柱x?y?a内那部分的面积.
2.求锥面Z=x2?y2被柱面Z2=2x所截部分的曲面面积.
3.求下列均匀密度的平面薄板重心:
x2y2(1)半椭圆 2?2?1,y?0;
ab(2)高为h,底分别为a和b的等腰梯形.
4.求下列均匀密度物体重心: (1) z?1?X?Y,z?0;
(2) 由坐标面及平面x+2y-z=1所围四面体. 5.求下列均匀密度的平面薄板转动惯量: (1)半径为R的圆关于其切线的转动惯量;
(2)边长为a和b,且夹角为?的平行四边形关于底边b的转动惯量.
6.设球体x?y?z?2x上各点的密度等于该点到坐标原点的距离,求这个球体的质量.
7.计算下列引力:
(1)均匀薄片x?y?R z=0 对于轴上一点(0,0,c)(c>0)处的单位质量的引力;
22222222(2)均匀柱体x?y?a,0?z?h 对于P(0,0,c)(c>h)处单位质量的引力. 8.求曲面 -------------
222-------------
?x??b?acos??sin? 0???2???y??b?acos??cos? 0???2? ?z?asin??的面积,其中a,b常数,且0?a?b.
9.求螺旋面
?x?rcos? 0?r?a?0???? ?y?rsin? ?z?b??的面积
10.求边长为I的正方形的薄板的质量,该薄板上每一点的密度与该点距正方形某顶点的距离成正比,且在正方形中点处密度为?0.
11.求边长为a密度均匀的正方体,关于其任一棱边的转动惯量.
总 练 习 题 1.设
为无理数?1, x??fx,y =?
2y, x 为有理数??x,y??D=?0,1???0,1?
(1)证明f在D上不可积; (2)说明
?10dx?f?x,y?dy存在,并求它的值;
01(3)说明f在D上先x后y的累次积分不存在.
2.设平面上区域D在x轴和y轴上的投影长度分别为Lx,Ly, D的面积为?D,(α,β)为D内任一点.证明:
(1) (2)
???x????y???dxdy?LDxLy?D
122????x??y??dxdy?LxLy. ??D4-------------