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《数学分析》下册教案 第十三章 函数列与函数项级数 西南财经大学数学学院
即 limSn(x)?S(x)，x?D。
n??也就是说，函数项级数（9）的收敛性就是指它的部分和函数列（10）的收敛性。
例4、定义在(??,??)上的函数项级数（几何级数） 1?x?x2???xn?? （12）
1?xn的部分和函数为Sn(x)?。故当x?1时，
1?x S(x)?limSn(x)?n??1。 1?x1；当x?1时，几何级数是发散的。 1?x?所以几何级数（12）在(?1,1)内收敛于和函数S(x)?定义2（函数项级数一致收敛性定义） 设?Sn(x)?是函数项级数?un(x)的部分和函数列。
n?1若?Sn(x)?在数集D上一致收敛于函数S(x)，则称函数项级数?un(x)在D上
n?1?一致收敛于函数S(x)，或称?un(x)在D上一致收敛。
n?1?由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来决定的，因此有
定理13.3（函数项级数一致收敛的柯西准则） 函数项级数?un(x)在D上一致收敛 ?对
n?1?于???0，?N，使得当n?N时，对一切x?D和一切正整数p，都有 Sn?p(x)?Sn(x)??，
即 un?1(x)?un?2(x)???un?p(x)??。 特别地，当p?1时，得到函数项级数收敛的必要条件：
推论： 函数项级数?un(x)在D上一致收敛的必要条件是函数列?un(x)?在D上一致收敛
n?1?于0。
设?un(x)?S(x)，x?D，称Rn(x)?S(x)?Sn(x)为函数项级数?un(x)的余项。
n?1n?1?? 5
《数学分析》下册教案 第十三章 函数列与函数项级数 西南财经大学数学学院
定理13.4 函数项级数?un(x)在D上一致收敛于S(x)?
n?1? limsupRn(x)?limsupS(x)?Sn(x)?0。
n??x?D?n??x?D例5、讨论几何级数?rn在所给区间上的一致收敛性：（1） [?a,a](0?a?1)；（2） (?1,1)。
n?0
三、 函数项级数的一致收敛性判别法
1．用定义；
2．柯西准则（定理13-3）；
3．定理13-4（必须已知和函数S(x)才可用此判别法）；
4．定理13-5（魏尔斯特拉斯判别法，也称M判别法或优级数判别法）
??设函数项级数?un(x)定义在数集D上，?Mn为收敛的正项级数，若?x?D，有
n?1n?1 un(x)?Mn，n?1,2,?， ?则函数项级数?un(x)在D上一致收敛。
n?1注： （1）应用此判别法的关键是：从un(x)出发找到所需的Mn。
（2）由此判别法所得结果是绝对一致收敛的。
作业：P35 1，2，3，4，5，6．
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