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方阵问题——基础学习
2、实心方阵例1：30人一排的方阵，求最外层有多少人？
【答案】116人。
【解题关键点】利用公式四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4，（30-1）×4=116（人） 3、实心方阵例2：20人一排的方阵共有多少人？
【答案】400（人）。
【解题关键点】利用公式：实方阵总人(或物)数=每边人(或物)数×每边人(或物)数，20×20=400（人）。
5、空心方阵例1：小华用围棋摆了一个六层的空心方阵,共用264颗棋子,问最里层有多少个棋子？( )
A 36 B 24 C 30 D 22
【答案】B 【解题关键点】
法一：对于空心方阵，最外层每边数=总数÷4÷层数+层数 最外层每边数=（264÷4÷6）+6=17人； 共六层，最外一层与最里一层相差5层。
每层每边数差两个，所以最里层每边数=17-5×2=7个 那么最里层个数是4×7-4=24个。
法二：方阵每层相差8个。那么从里向外数，第二层比第一层多8个，第三比第一层多16个，第四层比第一层多24个，第五层比第一层多32个，第六层比第一层多40个；
那么最里一层就是（264-8-16-24-32-40）÷6=24个
6、空心方阵例2：一个两层空心方阵最外层有16人，一共多少人？（） A.16 B.24 C.10 D.22
【答案】B
【解题关键点】最外层16人-四个角4人=12人 12÷4=3，即每个边3人
内层每个边应该比外层少2人以占角拐弯，故每个边仅1人，加上4个角，内层共8人 综上，内外两层共24人
总而言之，就是外层每排5人，内层每排3人，最中间空出一个人位置的两层空心方阵。
7、方阵综合例1：
方阵外一层总人数比内一层的总人数多8
每边人数与该层人数关系是：最外层总人数＝（边人数－1）×4 方阵总人数＝最外层每边人数的平方
空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4 去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1
【例1】某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人，问这个学校共有学生？ 【答案】625
【解题关键点】解答：最外层每边的人数是96÷4+1＝25，刚共有学生25×25=625
8、方阵综合例2：五年级学生分成两队参加学校广播操比赛，他们排成甲乙两个方阵，其中甲方阵每边的人数等于8，如果两队合并，可以另排成一个空心的丙方阵，丙方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多4人，甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心。五年级参加广播操比赛的一共有多少人? （） A 160 B 204 C 100 D 260
【答案】D
【解题关键点】设乙最外边每人数为Y，则丙为Y+4.
8×8+Y×Y+8×8=(Y+4)(Y+4)， 求出Y=14,则共有人数：14×14+8×8＝260。
9、方阵综合例3：明明用围棋子摆成一个三层空心方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子？摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子?
【答案】56个，144个。
【解题关键点】最外层有(15-1)×4=56个。则里二层为56-8×2=40 ，应用公式，用棋子（15－3）×3×4＝144。
10、方阵综合例4：学校运动会上，晨光小学组成一个大型方阵队，方阵队最外层每边25人，共8层；中间部分是15名同学组成的运动会会徽，这个方阵共有多少名同学？
【答案】
【解题关键点】空心方阵问题总数的公式是：总数=(最外层每边数-层数)*层数*4 11、方阵综合例5：108人排成空心方阵，如果最外层每边12人，那么共有几层？
【答案】3（层）。
【解题关键点】可以把相邻两层每边人数想成是一个等差数列，公差是2（方阵问题中有这样一个知识点，就是相邻两边每边人数相差2）。
通过“12×12-108=36 ”计算我们知道了此方阵是中间去掉了6×6的空心方阵，那么从每边12人排到每边6人，通过等差数列求项数《公式是：项数=（末项-首项）÷(公差+1）》的计算我们能求出（12-6）÷2+1=4（层），应该是有4层，
还因为我们已经知道要去掉的是每边6人那一层，所以刚才的算式就不用加1了，结果就是“（12-6）÷2=3（层）”。 11、方阵综合例6：国庆阅兵大典，参演学生组成一个方阵，已知方阵由外到内第二层有120人，则该方阵共有学生多少人？（ ）
A．625 【答案】D
【解题关键点】方阵由外到内第二层有120人，那么最外层有120+8=128人，那么每边有（128+4）÷4=33人，则整个方阵有33×33=1089人。
12、方阵综合例7：某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人，问这个学校共有学生（ ）。
A．600人 【答案】C
【解题关键点】根据方阵问题的基本公式，可知学校共有学生=方阵总人数=（96÷4+1）=625。 13、方阵综合例8：某校参加军训队列表演比赛，组织一个方阵队伍。如果每班60人，这个方阵至少要有4个班的同学参加，如果每班70人，这个方阵至少要有3个班的同学参加。那么组成这个方阵的人数应该为几人？ （
）
A．169 【答案】B
【解题关键点】依题意知道方阵数大于180小于210，考虑到方阵人数必须是一个平方数因此只能是196人成一个14×14的方阵。
B．196 C．225
D．256
2 B．841 C．1024 D．1089
B．615人 C．625人 D．640人
空心方阵
空心方阵每层有每一层的人数，每层有每一层的边数，相邻两层的层数差8，相邻两层的边数差2，这是空心方阵的特点。
弦图
空心方阵的总人数=（外层每边人数-层数）*层数*4
（外边每边人数-层数）×层数---表示的是弦图中的一个长方形 ×4---4个长方形
空心方阵每层有每一层的人数，每层有每一层的边数，
相邻两层的人数差8，相邻两层的边数差2，这是空心方阵的特点。
方阵相邻两层人数相差是8，（60-44）/8=2，说明中间那层往外有2层， 则中间那层往里也有2层，则一共2*2+1=5层，
相邻的层数差8，5层人数之和就是5个等差数的和， 问: 某空心方阵，最外层每边人数100，层数5, 求方阵人数。
解:总人数=(100-5) ×5×4=1900 人
例题：
把人（或物体）排成外面有若干层而中间空出一个正方形，这样排成的图形就是一个空心方阵
（或叫中空方阵），对空心方阵进行计算的问题就是空心方阵问题。下面讨论几个例。 例1 小华用棋子排了一个三层空心方阵最外面一层每边有18个棋子，排这个空心方阵一共用了多
少个棋子？ 解：把这个空心方阵如右图分成四部分，每部分是一个每行有棋子18－3＝15（个），排
成3 行的长方形，每个长方形有棋子15×3＝45（个），排这个空心方阵一共用了棋子45×4＝180（个）。
答：排这个空心方阵一共用了180个棋子。
例2 在一块正方形草地的四周种了256棵树，这些树种成为一个空心方阵，其中最外层每边有20
棵树，这个空心方阵有多少层？ 解：把这个空心方阵如上例那样分成四个长方形，每个长方形树的棵树是256÷4＝64（棵），64＝16×4，而20＝16＋4，就是说每个长方形为每行有16棵，有4行，所以这个空心
方阵有4层。
答：这个空心方阵有4层。
例3 一队战士排成每行12人，有12行的一个实心方阵，如果改排成三层的空心方阵，这个空心
方阵外层每边有多少人？内层每边有多少人？ 解：这对战士有12×12＝144（人）。按要求改排成三层的空心方阵，把这个空心方阵分成同样的四个长方形排成，每个长方形的战士人数为144÷4＝36（人），36＝3×12，长方形排成3行时，每行有12人，外层每边有12＋3＝15（人），内层每边有15－（3－1）×2＝11（人）。
答：外层每边有15人，内层每边有11人。
例4 一批树苗如果种成一个三层的空心方阵，多了9棵树苗；如果在中空部分多种一层，则缺7
棵树苗，原有树苗多少棵？ 解：原来的三层空心方阵在中控部分多种一层后，变成为四层空心方阵，其中多种的一层每边有树苗（7＋9）÷4＋1＝5（棵），最外边一层每边有树苗5＋2×3＝11（棵），空心方阵共有树
苗（11-4）×4×4=112（棵），原有树苗112－7＝105（棵）。
答：原有树苗105棵。