发布时间 : 星期三 文章2020年高考数学一轮复习考点题型课下层级训练25正弦定理和余弦定理的应用(含解析)更新完毕开始阅读
课下层级训练(二十五) 正弦定理和余弦定理的应用
[A级 基础强化训练]
1．如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10° C．南偏东80°
B．北偏西10° D．南偏西80°
【答案】D [由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.]
2．(2019·湖北十堰调研)已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为( ) A．10 km C．105 km
【答案】D [如图所示，
B．103 km D．107 km
由余弦定理可得，AC＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，∴AC＝107.]
3．(2019·河南郑州月考)如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于( )
2
A．56 C．52
B．153 D．156
【答案】D [在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理得＝，所以
sin 30°sin 135°
BCCDBC＝152. 在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝152×3＝156.]
4．一艘海轮从A处出发，以每小时40 n mile的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( ) A．102 n mile
B．103 n mile
1
C．203 n mile
【答案】A [画出示意图如图所示，
D．202 n mile
易知，在△ABC中，AB＝20 n mile，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，
sin 30°sin 45°解得BC＝102 n mile.]
5．如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m,50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为( )
BCAB
A．30° C．60°
B．45° D．75°
【答案】B [依题意可得AD＝2010，AC＝305，又CD＝50，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝
222
AC2＋AD2－CD2305＋2010－506 0002
＝＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，
2AC·AD2×305×20106 00022
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.]
6．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h,15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是________n mile.
【答案】70 [设两船之间的距离为d，则d＝50＋30－2×50×30×cos 120°＝4 900，∴d＝70，即两船相距70 n mile.]
7．一船以每小时15 km的速度向正东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km. 【答案】302 [如图所示，
2
2
2
60BM依题意有：AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在△AMB中，由正弦定理得＝，sin 45°sin 30°解得BM＝302(km)．]
8．(2018·福建福州质检)如图，小明同学在山顶A处观测到，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度为________ m/s(精确到0.1)．参考数据：2≈1.414，5
2
≈2.236.
【答案】22.6 [由题意可得AB＝200，AC＝1002，在△ABC中，由余弦定理可得BC＝AB＋AC－2AB·AC·cos∠BAC＝10，则BC＝10010≈141.4×2.236，又历时14 s，所以速度为≈22.6 m/s.]
149．(2019·山西监测)如图，点A，B，C在同一水平面上，AC＝4，CB＝6. 现要在点C处搭建一个观测站CD，点D在顶端．
5
2
2
2
BC
(1)原计划CD为铅垂线方向，α＝45°，求CD的长；
(2)搭建完成后，发现CD与铅垂线方向有偏差，并测得β＝30°，α＝53°，求CD.(结果精确到1) (本题参考数据：sin 97°≈1，cos 53°≈0.6) 【答案】解 (1)∵CD为铅垂线方向，点D在顶端， ∴CD⊥AB． 又∵α＝45°，∴CD＝AC＝4.
(2)在△ABD中，α＋β＝53°＋30°＝83°，AB＝AC＋CB＝4＋6＝10，∴∠ADB＝180°－83°＝97°， ∴由＝得
sin βsin∠ADB2
ADABABsin β10sin 30°5AD＝＝＝≈5.
sin∠ADBsin 97°sin 97°
在△ACD中，CD＝AD＋AC－2AD·ACcos α ＝5＋4－2×5×4×cos 53°≈17.
10．已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM＝100 m和BN＝200 m，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了1003 m后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量tan
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2
2
2
2
θ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．
【答案】解 在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100， ∴PM＝1003，在△PQM中，∠QPM＝60°，
3
又PQ＝1003，∴△PQM为等边三角形，∴QM＝1003. 在Rt△AMQ中，由AQ＝AM＋QM，得AQ＝200. 在Rt△BNQ中，tan θ＝2，BN＝200， ∴BQ＝1005，cos θ＝
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22
2
2
5. 5
2
在△BQA中，BA＝BQ＋AQ－2BQ·AQcos θ ＝(1005)，∴BA＝1005.
即两发射塔顶A，B之间的距离是1005 m.
[B级 能力提升训练]
11．(2019·广东广州调研)如图所示长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tan α等于( )
2
A．C．
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5231 16
5B． 1611D．
5
【答案】A [由题意，可得在△ABC中，AB＝3.5 m，AC＝1.4 m，BC＝2.8 m，且∠α＋∠ACB＝π.由余弦定理，可得AB＝AC＋BC－2×AC×BC×cos∠ACB，即3.5＝1.4＋2.8－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解5231sin α231
得cos α＝，所以sin α＝，所以tan α＝＝.]
1616cos α5
12．(2019·湖北武昌调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为( )
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A．14 h C．16 h
B．15 h D．17 h
【答案】B [记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，在△OAB中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45°，根据余弦定理得OB＝600＋400t－2×20t×600×
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，令OB≤450，即4t2
302－15302＋15302＋15
－1202t＋1 575≤0，解得≤t≤，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为
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