解析 由题意可知-7和-1为方程ax+8ax+21=0的两个根. 21
∴-7×(-1)=,故a=3.
2
2
2
2
a(2)若关于x的不等式|x-1|+|x+m|>3的解集为R,则实数m的取值范围是__________. 答案 (-∞,-4)∪(2,+∞)
解析 依题意得,|x-1|+|x+m|≥|(x-1)-(x+m)|=|m+1|,即函数y=|x-1|+|x+
m|的最小值是|m+1|,于是有|m+1|>3,m+1<-3或m+1>3,由此解得m<-4或m>2.因此
实数m的取值范围是(-∞,-4)∪(2,+∞).
1
题型二 线性规划问题
x+2y≥2,??
例2(2018·浙江五校联考)已知实数x,y满足约束条件?x-y≥-1,
??2x-y≤4,
大值为16,则实数a=________,z的最小值为________. 答案 2 1
且z=ax+y的最
解析 如图,作出不等式组所表示的可行域(△ABC及其内部区域).目标函数z=ax+y对应直线ax+y-z=0的斜率k=-a.
??2x-y=4,
(1)当k∈(-∞,1],即-a≤1,a≥-1时,目标函数在点A处取得最大值,由?
?x-y=-1,?
解得A(5,6),故z的最大值为5a+6,即5a+6=16,解得a=2.
(2)当k∈(1,+∞),即-a>1,a<-1时,目标函数在点C处取得最大值,由?解得C(0,1),故z的最大值为0×a+1=1,不符合题意. 综上,a=2.
数形结合知,当直线z=2x+y经过点C时,z取得最小值,zmin=2×0+1=1. 思维升华
1.利用线性规划求目标函数的基本步骤为一画二移三求,其关键是准确作出可行域,理解目标函数的意义. 2.常见的目标函数有
2→→
(1)截距型:如z=-2x+y,z=x,z=OP·OM(其中M(x,y)为区域内动点,P(-2,1)),等
4等.
(2)距离型:如z=(x-2)+y,z=|2x-y|,等等.
2
2
?x+2y=2,?
??x-y=-1,
yy+1x+y+1xy+1xx2+?y+1?2
(3)斜率型:如z=,z=,z=,z=+=,等等.
xxy+1xy+1xy+xy2x22
(4)二次曲线型:如z=xy,z=,z=+y,等等.
x2
2
3.解题时要注意可行解是区域的所有点还是区域内的整点.
x-y+1>0,??
跟踪训练2 (1)(2018·湖州五校模拟)设实数x,y满足约束条件?x+y-3<0,
??y>0,
-y的取值范围为( ) A.(-6,-1) C.(-1,8) 答案 D
B.(-8,-2) D.(-2,6)
则z=2x解析 方法一 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示.作出直线y=2x,平移直线,直线z=2x-y在点B(-1,0)处的取最小值为-2,在点C(3,0)处的取最大值为6,所以z=2x-y的取值范围为(-2,6).
方法二 三条直线两两联立求出的交点坐标分别是(1,2),(-1,0),(3,0),分别代入z=2x-y求值,得0,-2,6,所以z=2x-y的取值范围为(-2,6). 2x+5y≥0,??
(2)若x,y满足?2x-y≥0,
??x≤5,
2
2
则不等式组表示的平面区域的面积为________,z=(x+
1)+(y-1)的最小值为________. 9
答案 30
5
2x+5y≥0,??
解析 作出?2x-y≥0,
??x≤5
表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示,则不等式组表
11
示的平面区域的面积为×5×2+×10×5=30.
22
3
z=(x+1)2+(y-1)2表示可行域内的点(x,y)与点M(-1,1)之间的距离的平方,数形结合易
知,z=(x+1)+(y-1)的最小值为点M(-1,1)到直线2x-y=0的距离的平方,即zmin=2
2
|2×?-1?-1|2[22+?-1?2]2
=95
. 题型三 基本不等式的应用
例3 (1)已知x2
+4xy-3=0,其中x>0,y∈R,则x+y的最小值是( ) A.3
2B.3C.1D.2 答案 A
2
解析 由x2
+4xy-3=0,得y=3-x4x,
即有x+y=x+3-x2
4x=3?1?4??x+x??
.
∵x>0,∴x+1x≥2,即x+y≥3
2
,
当且仅当x=1x,即x=1,y=13
2时,x+y取得最小值2
. ?a2
(2)已知a>0,b>0,c>1,且a+b=1,则?+1?ab-2???
·c+2c-1的最小值为______.
答案 4+22
∵a2+1a2+?a+b?22a2+2ab+b2解析ab=ab=ab
=2a+b+2≥22abab·ba+2=22+2,
?当且仅当?2a?b=ba,
?a=2-1,??a+b=1,
即?
?b时等号成立,
=2-2
∴?2
?a+1?ab-2???
·c+2c-1≥22c+2c-1 =22(c-1)+
2
c-1
+22 4