发布时间 : 星期四 文章山西省高考数学三模试卷(理科) Word版(含解析)更新完毕开始阅读
|CA|+|CD|取得最小值转化为|CB|+|CD|取最小值，可得C的位置，写出BD所在直线方程，联立直线方程与双曲线方程求得C的坐标得答案．
【解答】解：如图，以AB所在直线为x轴，ED所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 则A（﹣2，0），B（2，0），D（0，4），
设△ABC的内切圆切AC、AB、BC分别于G、H、F， 则|CA|﹣|CB|=|AG|﹣|BF|=|AH|﹣|HB|=2＜4， ∴C点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支， 且a=1，c=2，b2=c2﹣a2=3， ∴C的轨迹方程为
（x＞0）．
∵|CA|﹣|CB|=2，
∴|CA|=|CB|+2，
则|CA|+|CD|=|CB|+|CD|+2，
则当C为线段BD与双曲线右支的交点时，|CA|+|CD|最小， BD所在直线方程为
，即2x+y﹣4=0．
联立，解得C（）．
∴点C到直线DE的距离为
故答案为：8﹣．
．
三、解答题
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a+c）sinB=2csinA． （1）若sin（A+B）=2sinA，求cosC；
（2）求证：BC、AC、AB边上的高依次成等差数列． 【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】（1）使用正弦定理将角化边，得出a，b，c的关系，利用余弦定理解出cosB； （2）用三角形的面积S表示出三条高，利用等差中项的性质进行验证即可． 【解答】解：（1）∵（a+c）sinB=2csinA．∴ab+bc=2ac． ∵sin（A+B）=sinC=2sinA，∴c=2a．
∴ab+2ab=4a2．∴b=
．
∴cosB===．
（2）设BC、AC、AB边上的高分别为h1，h2，h3， 则S=ah1=bh2=ch3， ∴2S=ah1=∴h1=
h2=2ah3．
，h3=．
，h2=
∴h1+h3=2h2．
∴BC、AC、AB边上的高依次成等差数列．
18．某脐橙基地秋季出现持续阴雨寡照等异常天气，对脐橙物候和产量影响明显，导致脐橙春季物候期推迟，畸形花增多，果实偏小，落果增多，对产量影响较大．为此有关专家退出2种在异常天气下提高脐橙果树产量的方案，每种方案都需分两年实施．实施方案1：预计第一年可以使脐橙倡粮恢复到灾前的1.0倍、0.8倍的概率分别是0.4、0.6；第二年可以使脐橙产量为第一年产量的1.25倍、1.1倍的概率分别是0.5、0.5．实施方案2：预计第一年可以使脐橙产量达到灾前1.2倍、0.8倍的概率分别是0.5、0.5；第二年可以使脐橙产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.6、0.4．实施每种方案第一年与第二年相互对立，
X2表示方案2实施两年后脐橙令X1表示方案1实施两年后脐橙产量达到灾前产量的倍数，
产量达到灾前产量的倍数．
（1）分别求X1、X2的分布列和数学期望；
（2）不管哪种方案，如果实施两年后，脐橙产量不高于和高于灾前产量的预计利润分别为12万元和20万元，为了实现两年后的平均利润最大化，应该选择哪种方案？ 【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）把实施方案一的数据列表整理，能求出X1的分布列的数学期望；把实施方案二的数据列表整理，能求出X2的分布列的数学期望． （2）记方案一的预计利润数为Y1，求出Y1的分布列和期望；记方案二的预计利润数为Y2，求出Y2的分布列和期望，由EY1＜EY2，得到为了实现两年后的平均利润最大化，应该选择方案2． 【解答】解：（1）实施方案一的数据具体见下表：
第一年 第二年 第二年
（对于灾前） （对于第一年） （对于灾前）
倍数 1.0 0.8 1.25 1.10 1.25 1.1 0.9 0.88 相应频
0.4 0.6 0.5 0.5 0.2 0.2 0.3 0.3
率
由表可得X1的分布列：
1.25 1.1 0.9 0.88 X1
P 0.2 0.2 0.3 0.3 EX1=1.25×0.2+1.1×0.2+0.9×0.3+0.88×0.3=1.004． 实施方案二的数据具体见下表：
倍数 相应频率
第一年
（对于灾前） 1.2 0.8 0.5
0.5
第二年
（对于第一年） 1.25 1.10 0.6
0.4
第二年
（对于灾前） 1.5 1.32 0.3
0.2
1.0 0.3
0.88 0.2
由表可得X2的分布列为：
1.5 1.32 1.0 0.88 X2
P 0.3 0.2 0.3 0.2 EX2=1.5×0.3+1.32×0.2+1.0×0.3+0.88×0.2=1.19．
（2）记方案一的预计利润数为Y1，则Y1的分布列为：
12 20 Y1
P 0.6 0.4 EY1=12×0.6+20×0.4=15.2．
记方案二的预计利润数为Y2，则Y2的分布列为：
12 20 Y2
P 0.5 0.5 EY2=12×0.5+20×0.5=16． ∵EY1＜EY2，
∴为了实现两年后的平均利润最大化，应该选择方案2． 19．AA1=6，如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，且A1A⊥底面ABCD，点P，Q分别在DD1，BC上，且（1）证明：PQ∥平面ABB1A1；
（2）求二面角P﹣QD﹣A的余弦值．
=
，BQ=4．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）在AA1上取一点N，使得AN=AA1，由已知可证四边形BQPN为平行四边形，从而证明PQ∥BN，即可判定PQ∥ABB1A1．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P﹣QD﹣A的余弦值．
【解答】证明：（1）在AA1上取一点N，使得AN=AA1， ∵DP=DD1，且A1D1=3，AD=6， ∴PN∴PN
AD，又BQBQ，
AD，
∴四边形BQPN为平行四边形， ∴PQ∥BN，
∵BN?平面ABB1A1，PQ?ABB1A1． ∴PQ∥ABB1A1． 解：（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系， D（0，6，0），D1（0，3，0），P（0，4，4），Q（6，4，0），A（0，0，0）， =（0，﹣2，4），=（6，﹣2，0）， 设平面DPQ的法向量=（x，y，z）， 则
，取x=2，得=（2，6，1），
平面ADQ的法向量=（0，0，1）， 设二面角P﹣QD﹣A的平面角为θ， cosθ=
=
=
．
20．如图，F1，F2为椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，D，E是椭圆的两个
顶点，|F1F2|=2
，|DE|=
，若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N（
，）称为
点M的一个“椭点”．直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭点”分别为P，Q，已知以PQ为直径的圆经过坐标原点O． （1）求椭圆C的标准方程；
（2）试探讨△AOB的面积S是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．