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高一数学同步辅导教材（第13讲）
一、本讲教学进度
2.9—2.10（P90—95） 二、本讲教学内容 函数的应用 三、重点、难点选讲
1．学习函数的目的在于应用，“函数的应用举例”这一节是用我们已经学过的函数知识及其他
数学知识解决来自生产、生活和有关科学实验的某些实际问题.在解决这些实际问题时，特别要注意掌握几种常用的数学思想.
（1）建模思想.把实际问题与某个数学模型联系起来，即将实际问题数学化. （2）化归思想.把表达实际问题的文字语言翻译、转化为数学语言.
（3）函数思想.把实际问题中的各种量用函数的观点，即变化联系的观点去分析研究这些量之间的关系.
2．了解函数的应用问题需要做好以下几下步骤：
（1）审题.要认真地逐字阅读全题，弄懂题中文字所表达的意思，特别是某些关键词语的确切含义，那些对我们较为陌生的内容，更要反复推敲，理解.
（2）转化.在准确理解题意的基础上，将问题中的各个量及它们之间的关系用教学语言表述出来，并建立起它们之间的联系，即将实际问题转化成数学问题. （3）求解.用学过的有关教学知识求出数学问题的解.
（4）检验.根据题中实际问题的相关条件检验求出的数学问题的解是否符合条件，作出判断并回答结果.
例1 如图，一段东西走向的直线铁路MN，北侧距离铁路10km处有一工厂A，现要把工厂的产品由铁路运往铁路东头的B地，计 划在铁路上修一车站D，A与D间修一条公路，货物由公路从A
运到D，再用铁路运到B地.已知AC?MN，BC=30km，每吨公 里的公路运费是铁路运费的2倍，问D点应选在何处，才能使运费最省？ 解 设CD=x km，铁路运货价为每km a元，总运费为y元，则公路运价是每km 2a元. y?2ax2?102?a(30?x), y?a(2x2?100?x?30).(0?x?30) 令t?2x2?100?x,则t?x?2x2?100. 两边平方，得t?2tx?x?4x?400. 222?t?0. 3x?2tx?400 ?x?R,???0,即 4t?12(400 ?t)?0,t?30.0 ?t?0,?t?103. 当t?103时,x? 即当x?222222t103?. 63103时，t有最小值103，y有最小值10(3?3)a. 3103km时，运费最省. 答：当D点在C点东边332例2 建造一个容积为8m，深为2m的长方体形无盖水池，如果池底和池壁的造价每m
分别为120元和80元，那么水池的总造价最低是多少元？
分析 因水池容积是定值，高度也是定值，所以底面积是定值，而底面积一定时，只有底面周长最小时，才能使总造价最低.
解 因水池容积是8m，水池深为2m，故水池底面积为4m.因此当水池底面长方形周长l 最小时，水池总造价最低.
设池底矩形一边长为xm，则另一边长 ?2x?lx?8?0.
?x?R,???l2?4?2?8?0,l2?64. ?l?0,?l?8. 当l?8,x?23244m，l?2(x?) (x?0).
xxl?2. 4 ?lmin?8,此时水池的总造价最低，为120?4?80?2?8?1760(元). 答：水池总造价最低为1760元.
例3 某工厂今年1月，2月，3月生产某种产品分别为1万件，1 .2万件，1.3万件，为了估测以
后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月 份x的关系.模拟函数可以选用二次函数或函数y?a?bx?c（其中a,b,c为常数）.已知4 月份该产品的产量为1.37万件，请问以上哪个函数作为模拟函数较好？请说明理由. 解 设y1?f(x)?px2?qx?r(p?0),y2?g(x)?a?bx?c.
?f(1)?p?q?r?1,? 由题意，得?f(2)?4p?2q?r?1.2,
?f(3)?9p?3q?r?1.3.? 解得p??0.05,q?0.35,r?0.7. ?y1?f(x)??0.05x2?0.35x?0.7,
f(4)??0.05?4?0.35?4?0.7?1.3(万件).
2?g(1)?a?b?c?1,?2 同理，有?g(2)?a?b?c?1.2,
?g(3)?a?b3?c?1.3.? 解得 a??0.8,b?0.5,c?1.4.
?y2?g(x)??0.8?(0.5)x?1.4. g(4)??0.8?(0.5)4?1.4?1.35(万件). ?1.37?g(4)?1.37?f(4),
?用g(x)??0.8?(0.5)?1.4作为模拟函数较好.
例4 某种消费品每件60元，不加收附加税时，每年大约销售80万件，若政府征收附加税，每 销售100元要征收附加税R元（也叫税率R%），则每年的销售量将减少
x20R万件，要 3 使每年在此经营中所收税金额不少于128万元，问税率应取在什么范围内？ 解 设销售量为每年x万件，则每年销售收入为60x万元.设从中征收税金y万元，则 y=60x?R%,此时x?80? ?y?60?(80?20R. 320R)?R%. 320R)?R%?128. 由题意，60?(80?32 化简得 R?12R?32?0.
?4?R?8.
答 税率应在4%至8%之间，年收税金额才不低于128万元.
例5 某商店为了获取最大利润，做了一番试验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格 出售，每天可销售60件，现在采用提高销售价格的办法增加利润，已知这种商品单价每提价1元，其销售量就要减少10件.问这种商品售价定为多少时，才能使每天赚得的利润最大？ 并求出最大利润.
分析 本题应将问题化归为求函数的最值，在构造函数时除了注意量与量之间的关系外，还应注 意由具体问题得出函数的定义域.
解 设商品的售价定为每件x元时，赚得的利润为y元，则 y?(x?8)[60?(x?10)?10].(x?10) y?10[(x?8)(16?x)]?10(?x2?24x?128) ?10[?(x?12)2?16] ?当x?12时,ymax?160.
答：当每件售件定为12元时，每天赚得的利润最大，为160元.
评析 用二次函数求函数的最值时，一定要注意二次函数的定义域，及抛物线的开口方向、对 称轴与定义区间的关系.
例6 我国是水资源比较贫乏的国家之一，某市采用价格调控等手段来达到节约用水的目的.其 收水费的方法是：
水费=基本费+超额费+损耗费. 若每月用水量不超过最低限量Am时，只付基本费8元和每户每月的定额损耗费C元；若用水量超过Am时，除了付上述基本费和损耗费外，超过部分每m还要付B元的超额 费，已知每户每月的定额损耗费不超过5元.
该市一家庭今年第一季度3个月的用水量和水费如下表所示： 3月份 水费（元） 用水量（m） 1 9.5 9 2 15 19 3 25 39 根据上表中的数据，求A，B，C. 分析 支付水的费用与用水量有关，由题意，知支付的水费是用水量的分段函数. 解 设每月用水量为xm,支付的水费为y元，由题意得
8+C (0?x?A,) ①
y= 8+B(x-A)+C (x?A). ② 由题设，C?5,?8?C?13.
从表中可见，2、3月份的水费均大于13（元），所以用水量15m和25 m均大于最低 额度Am.
将x=15和x=25分别代入②，得 19=8+B（15-A）+C， ③ 39=8+B（25-A）+C， ④ ④-③，并化简得B=2.
将B=2代入③，得2A=19+C. ⑤ 下面判断1月用水量是否超过最低额度. 假设9.5>A,将x=9.5代入②，得 9=8+2(9.5-A)+C,即2A=18+C. 与⑤矛盾，因此9.5?A.
因此此时缴费方式应选①式，有 9=8+C, C=1.
将C=1代入⑤，得A=10. ?A?10,B?2,C?1.
例7 某市1998年底人口为100万，人均住房面积为9m，计划到2003年底人均住房面积达到
23333333 12m.如果该市将人口的平均增长率控制在每年0.5%，那么要实现上述计划，这个城市每 年平均至少要新增住房面积多少m（结果以万m为单位，保留两位小数）？
分析 由人口每年的平均增长率为0.5%，知2003年底的总人口将达到100(1?0.5%)5万.而根据题意，每年新增的住房面积相等，设为x万m，则到2003年底应新增住房面积5x万m. 解 设每年平均新增住房面积为x万m,则 100(1?0.5%)5?12?100?9?5x， x?240?1.005?180. 用计算器可得 x?66.06.
答 为了实现2003年底人均住房面积达到12m，每年至少要新增住房面积66.06万m.
225222222练 习
一、选择题
1． 在国内投寄平信，每件不超过20g，付邮资80分，超过20g而不足40g，付邮资160分，依 次类推，每封重g（0?x?60）的平信应付邮资为（单位：分）
?80,x?(0,20],?y??160,x?(20,40], ?240,x?(40,60].?某人投寄一封重45g的平信，应付邮资（ ） A．80分 B．160分 C．240分 D．320分 2．已知矩形的周长为40cm，长y(Cm)是宽x(Cm)的函数，则该函数的定义域为（ ） A．（0，20） B．（0，40） C．（0，20] D．（0，40] 3．如图，直角梯形OABC中，AB//OC，AB=1， OC=BC=2，直线x=t截此梯形所得位于直线 x=t左方的图形面积为S,则函数S=f(t)的图象大致 为（ ） 4．按复利计算储蓄利率，存入银行a万元，年利率为b%，x年后支取，则本利和应为（ ） A．a(1?b%)C．a(1?b%)x?1x?1万元 B．a(1?b%)万元 万元 D．a[1?(b%)]万元
xx5．已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，设质量1g的镭经过x年后剩留量为yg，则y与 x之间的函数关系是（ ）
A．y?0.9576x100 B．y?0.9576100x?0.9567? C．y??)100 ? D．y?1?(0.0424?100?xx6．某人去上班，由于担心迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走完余下的路程. 如果纵轴表示