发布时间 : 星期一 文章2020高考数学大一轮复习第五章平面向量1第1讲平面向量的概念及线性运算练习(理)(含解析)更新完毕开始阅读
第1讲 平面向量的概念及线性运算
[基础题组练]
→1→→→
1.(2019·石家庄质量检测(一))在△ABC中,点D在边AB上,且BD=DA,设CB=a,CA2→
=b,则CD=( )
12A.a+b 3334C.a+b 55
21B.a+b 3343D.a+b 55
→1→→1→→→→→1→→1→→
解析:选B.因为BD=DA,所以BD=BA,所以CD=CB+BD=CB+BA=CB+(CA-CB)=
23332→1→21
CB+CA=a+b,故选B. 3333
→
2.在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AD为BC边上的高,O为AD的中点,若AO→→
=λAB+μBC,其中λ,μ∈R,则λ+μ等于( )
A.1 1C. 3
→→→→1→
解析:选D.由题意易得AD=AB+BD=AB+BC,
3→→1→→1→1→所以2AO=AB+BC,即AO=AB+BC.
326112
故λ+μ=+=.
263
3.已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么( ) A.k=1且c与d同向 B.k=1且c与d反向 C.k=-1且c与d同向 D.k=-1且c与d反向
解析:选D.由题意可设c=λd,即ka+b=λ(a-b),(λ-k)a=(λ+1)b.因为a,b??λ-k=0,
不共线,所以?所以k=λ=-1,所以c与d反向,故选D.
?λ+1=0.?
1
B. 22D. 3
λ→2→→1→→→→
4.如图,在△ABC中,AD=AC,BP=BD,若AP=λAB+μAC,则的值为( )
33μ
- 1 -
A.-3 C.2
→→→
解析:选B.因为AP=AB+BP, →
B.3 D.-2
BP=BD=(AD-AB)=AD-AB=×AC-AB=AC-AB,
→→?2→1→?2→2→所以AP=AB+?AC-AB?=AB+AC;
3?39?922→→→
又AP=λAB+μAC,所以λ=,μ=;
39
1→1→→
331→1→12→1→
333332→
91→3
λ29
所以=×=3.故选B.
μ32
→→→
5.(2019·辽宁丹东五校协作体联考)P是△ABC所在平面上的一点,满足PA+PB+PC=→
2AB,若S△ABC=6,则△PAB的面积为( )
A.2 C.4
B.3 D.8
→→→→→→→→→→→→
解析:选A.因为PA+PB+PC=2AB=2(PB-PA),所以3PA=PB-PC=CB,所以PA∥CB,
S△ABCBC|CB|S△ABC且方向相同,所以===3,所以S△PAB==2.
S△PABAP→3
|PA|
→→→→→→
6.若|AB|=|AC|=|AB-AC|=2,则|AB+AC|=________.
→→→→→→
解析:因为|AB|=|AC|=|AB-AC|=2,所以△ABC是边长为2的正三角形,所以|AB+AC→→
|为△ABC的边BC上的高的2倍,所以|AB+AC|=23.
答案:23
→→→→→
7.已知O为△ABC内一点,且2AO=OB+OC,AD=tAC,若B,O,D三点共线,则t的值为________.
→→→
解析:设线段BC的中点为M,则OB+OC=2OM. →→→→→因为2AO=OB+OC,所以AO=OM,
→1→1→→1?→1→?1→1→则AO=AM=(AB+AC)=?AB+AD?=AB+AD.
t?4244?4t111
由B,O,D三点共线,得+=1,解得t=.
44t3
- 2 -
→
1答案:
3
→1→→
8.在△ABC中,∠A=60°,∠A的平分线交BC于点D,若AB=4,且AD=AC+λAB4(λ∈R),则AD的长为________.
13
解析:因为B,D,C三点共线,所以+λ=1,解得λ=,如图,
44→1→→3
过点D分别作AC,AB的平行线交AB,AC于点M,N,则AN=AC,AM=
44→
AB,经计算得AN=AM=3,AD=33.
答案:33
9.在△ABC中,D,E分别为BC,AC边上的中点,G为BE上一点,且
GB=2GE,设AB=a,AC=b,试用a,b表示AD,AG.
→1→→11
解:AD=(AB+AC)=a+b.
222
2→1→→1→1→11→→→→2→→1→→
AG=AB+BG=AB+BE=AB+(BA+BC)=AB+(AC-AB)=AB+AC=a+b.
33333333→→→→
10.经过△OAB重心G的直线与OA,OB分别交于点P,Q,设OP=mOA,OQ=nOB,m,n∈11
R,求+的值.
→→→→
nm→→→1
解:设OA=a,OB=b,则OG=(a+b),
3→→→
PQ=OQ-OP=nb-ma,
→→→1?1?1PG=OG-OP=(a+b)-ma=?-m?a+b.
3?3?3→→
由P,G,Q共线得,存在实数λ使得PQ=λPG,
?1?1
即nb-ma=λ?-m?a+λb,
?3?3
?1?-m=λ?-m?,???3?11
则?消去λ,得+=3.
nm1
??n=3λ,
[综合题组练]
1.(应用型)已知向量a,b不共线,且c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c与d反向共线,则实数λ的值为( )
- 3 -
A.1 1
C.1或-
2
1B.-
21
D.-1或-
2
解析:选B.由于c与d反向共线,则存在实数k使c=kd(k<0),于是λa+b=k[a+
??λ=k,
(2λ-1)b].整理得λa+b=ka+(2λk-k)b.由于a,b不共线,所以有?整理
?2λk-k=1,?
112
得2λ-λ-1=0,解得λ=1或λ=-.又因为k<0,所以λ<0,故λ=-.
22
2.(应用型)(2019·安徽安庆模拟)在△ABC中,点D是边BC上任意一点,M是线段AD→→→
的中点,若存在实数λ和μ,使得BM=λAB+μAC,则λ+μ=( )
1A. 2C.2
1B.-
2D.-2
→→
解析:选B.如图,因为点D在边BC上,所以存在t∈R,使得BD=tBC=
t(AC-AB).因为M是线段AD的中点,所以BM=(BA+BD)=(-AB+tAC-tAB)=-(t+1)·AB+tAC.
11→→→
又BM=λAB+μAC,所以λ=-(t+1),μ=t,
221
所以λ+μ=-.故选B.
2
→→→
3.(创新型)(2019·陕西铜川质检)已知P为△ABC所在平面内一点,AB+PB+PC=0,→→→
|AB|=|PB|=|PC|=2,则△ABC的面积等于( ) →
12
→1→
2
→→
→1→
2
→
12
→→
A.3 C.33
B.23 D.43
→→→→→→
解析:选B.因为AB+PB+PC=0,所以AB=-(PB+PC).
→→→
由平行四边形法则可知,以PB,PC为边组成的平行四边形的一条对角线与AB反向,且长→→→→→
度相等.因为|AB|=|PB|=|PC|=2,所以以PB,PC为边的平行四边形为菱形,且除BC外的11
对角线长为2,所以BC=23,∠ABC=90°,所以S△ABC=AB·BC=×2×23=23,故选
22B.
→→
4.(应用型)已知O是三角形ABC所在平面内一定点,动点P满足OP=OA+
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