发布时间 : 星期日 文章李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社更新完毕开始阅读
当0?x?90时，
oo令f(x)?cosx 取x0?0,h?(1o1?? )???606018010800令xi?x0?ih,i?0,1,...,5400 则x5400??2?90o
当x??xk,xk?1?时，线性插值多项式为
L1(x)?f(xk)插值余项为
x?xk?1x?xk?f(xk?1)
xk?xk?1xk?1?xkR(x)?cosx?L1(x)?1f??(?)(x?xk)(x?xk?1) 2又Q在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且cosx??0,1?，故计算中有误差传播过程。
1??(f*(xk))??10?52x?xk?1x?xk?1R2(x)??(f*(xk))??(f*(xk?1))xk?xk?1xk?1?xk??(f*(xk))(x?xk?1x?xk?1?)xk?xk?1xk?1?xk
1??(f*(xk))(xk?1?x?x?xk)h??(f*(xk))?总误差界为
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R?R1(x)?R2(x)1(?cos?)(x?xk)(x?xk?1)??(f*(xk))21??(x?xk)(xk?1?x)??(f*(xk))2 11??(h)2??(f*(xk))221?1.06?10?8??10?52?0.50106?10?5?4．设为互异节点，求证： （1）
n?xl(x)?xkjjj?0nk (k?0,1,L,n);
（2）证明
?(xj?0j?x)klj(x)?0 (k?0,1,L,n);
（1） 令f(x)?x
若插值节点为xj,j?0,1,L,n，则函数f(x)的n次插值多项式为Ln(x)?k?xl(x)。
kjjj?0nf(n?1)(?)?n?1(x) 插值余项为Rn(x)?f(x)?Ln(x)?(n?1)!又Qk?n,
?f(n?1)(?)?0?Rn(x)?0n
k??xkjlj(x)?x (k?0,1,L,n); j?0(2)?(xj?x)klj(x)j?0n??(?Ckjxij(?x)k?i)lj(x)
j?0ni?0iknn??C(?x)(?xijlj(x))k?ii?0j?0n又Q0?i?n 由上题结论可知
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?xl(x)?x
kjjij?0n?原式??Cki(?x)k?ixii?0n?(x?x)k?0?得证。
5设f(x)?C2?a,b?且f(a)?f(b)?0,求证：
1maxf(x)?(b?a)2maxf??(x). a?x?ba?x?b8解：令x0?a,x1?b，以此为插值节点，则线性插值多项式为
L1(x)?f(x0) =?f(a)x?x1x?x0?f(x1)
x0?x1x?x0x?bx?a ?f(b)a?bx?a
又Qf(a)?f(b)?0?L1(x)?0插值余项为R(x)?f(x)?L1(x)?1f??(x)(x?x0)(x?x1) 2?f(x)?1f??(x)(x?x0)(x?x1) 2又Q(x?x0)(x?x1)2?1????(x?x0)?(x1?x)???2?
12?(x1?x0)41?(b?a)241?maxf(x)?(b?a)2maxf??(x). a?x?ba?x?b8x6．在?4?x?4上给出f(x)?e的等距节点函数表，若用二次插值求e的近似值，要使
x截断误差不超过10，问使用函数表的步长h应取多少？
解：若插值节点为xi?1,xi和xi?1，则分段二次插值多项式的插值余项为
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1f???(?)(x?xi?1)(x?xi)(x?xi?1) 3!1?R2(x)?(x?xi?1)(x?xi)(x?xi?1)maxf???(x)
?4?x?46R2(x)?设步长为h，即xi?1?xi?h,xi?1?xi?h
123343?R2(x)?e4?h?eh.
62733若截断误差不超过10，则
?6R2(x)?10?6343eh?10?6 27?h?0.0065.?n447．若yn?2,求?yn及?yn.，
解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。
yn?2n
?4yn?(E?1)4yn
?4???(?1)j??E4?jynj?0?j?4?4???(?1)j??y4?n?jj?0?j?4 j?4?4?j??(?1)??2?ynj?0?j?4?(2?1)4yn?yn?2n12?124?yn?(E?E)yn
?(E)(E?1)4yn ?E?yn?24?1244
?yn?2?2n?28．如果f(x)是m次多项式，记?f(x)?f(x?h)?f(x)，证明f(x)的k阶差分
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